天津大学计算物理学简析.doc

第一章 线性代数方程组的解法 §1.1 电阻网络节点电压的求解 如图1-1是一个电阻网络，已知AB两点的电压和各电阻值，求节点1～6的电位值。 图1-1 电阻网络 根据电学中的基尔霍夫定律，流进与流出各节点的电流的代数和为零。得 这样，求解电阻网络节点电位的问题就化为求解一个线性代数方程组的问题。 §1.2 三角形方程组的解法 所谓三角形方程组是指如下两种形式的方程组，它们是通过其它一些方法变换得到的。 式(1-2)称为下三角形方程组，可以简记为： 式(1-3)称为上三角形方程组，可以简记为： 三角形方程组的求解非常简单，对下三角方程(1-2)，从第一个方程可以解出 将其代入到第二个方程，可以解出 依次类推，就可解出全部待求量。解的一般形式为： 对上三角方程(1-3)，从第n个方程可以解出 将其代入到第n-1个方程，可以解出 依次类推，就可解出全部待求量。解的一般形式为： §1.3 高斯消元法（略） §1.4 LU分解法 LU分解法是基于矩阵运算的一种方法，因此我们改用矩阵语言来表述。 一、基本思想 将线性代数方程组AX = B中的系数矩阵A分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积，即A = LU，其中各量为 于是原方程变为LUX = B，令 UX = Y 则LY = B，其中 这里，T表示矩阵的转置。 按照前面解三角形方程组的方法，有 其中约定： 二、矩阵A的LU分解 1、根据矩阵U的特点，的下标满足，由矩阵的乘法，有 所以， 2、根据矩阵L的特点，的下标满足，由矩阵的乘法，有 所以， 由(1-12)、(1-13)两式可见，L与U两矩阵的元素彼此互相交织在一起，为了便于求解，矩阵元的计算可参照下列图示顺序进行： 图1-2 LU分解法各矩阵元的计算顺序 横、竖线方向及其方框内的编号分别指明计算该线的上方或左方元素的顺序。 三、LU分解的算法 现将LU分解的算法步骤归纳如下： ①用(1-12)、(1-13)两式计算矩阵元，； ②用(1-10)式自上而下计算； ③用(1-11)式自下而上计算。 [例题1-2] 用LU分解法求解方程组 解：由(1-12)式计算第行， 于是，对 LY = B，即 由(1-10)式自上而下计算： 对 UX = Y，即 由(1-11)式自下而上计算： 采用LU分解法求解线性代数方程组时应该注意：当很大或很小时，会使舍入误差增大或产生溢出从而造成错误的结果。 §1.5 雅可比迭代法（J法） 迭代法的基本思想是要构成一个关于解的向量序列，该序列由原方程组改写的迭代方程产生，如果该序列最终收敛至某个极限向量，则该极限就是原方程组的准确解。否则，迭代方法失效，但不能就此说明，原方程组就一定无解。 雅可比迭代法是最简单的一种迭代法。为叙述方便，先以三阶方程组为例说明雅可比迭代法的计算过程，然后给出一般结果。 假设：，对式(1-14)分别“解出”三个未知量： 然后将其改写为雅可比迭代格式： 计算过程如下：首先在求解区间内，对三个未知量任选一组初值构成零级向量，记作 (上角标T表示转置)，代入式(1-16)的右边，得到一级向量 再将代入式(1-16)的右边，得到，如此往复迭代，得到一个向量序列，。 如果该序列随着k的增大，最终趋向一组定值 称为该向量序列收敛，则这组定值就是原方程的解。而如果该向量序列没有极限，称为该向量序列发散，本迭代法失效。但不能依此就说原方程组无解，因为前面在将原方程(1-15)改写成迭代格式(1-16)时，方程的性质已经发生变化，只有在向量序列收敛的情况下，两者才归于一致。 对于一般n阶方程组，J法的格式为 计算结果的判断：设小量作为最大误差，当 结束计算。 §1.6 高斯--赛德尔迭代法（G - S法） 对于一般n阶方程组，G - S法的格式为 §1.7 超松弛迭代法（SOR法） 将其中的用G-S法的式(1-20)代入，得到 再将式(1-21)改写成： 是迭代的“步长”。 为了加快迭代进程，人为地加大，于是可将式(1-23)进一步改写成： 最后，将