五、极限法简析.doc

高中奥林匹克物理竞赛解题方法 五、极限法 方法简介 极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。 赛题精讲 例1：如图5—1所示， 一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立 弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为k，则物块可能获得的最大动能为 。 解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理， 小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有 mg=kx ① 图5—1 由机械能守恒有 ② 联立①②式解得 例2：如图5—2所示，倾角为的斜面上方有一点O，在O点放一至 斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点 的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角。 解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与角有关， 求时间t对于角的函数的极值即可。 由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则 所以 ① 由图可知，在△OPC中有 所以 ② 将②式代入①式得 显然，当时，上式有最小值. 所以当时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。 此题也可以用作图法求解。 例3：从底角为的斜面顶端，以初速度水平抛出一小球，不计 空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后， 离开斜面的最大距离H为多少？ 解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。 以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向， 则由：，解得运动时间为 该点的坐标为 由几何关系得： 解得小球离开斜面的最大距离为 。 这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。 例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 的墙外， 从喷口算起， 墙高为4.0m。 若不计空气阻力，取 ，求所需的最小初速及对应的发射仰角。 解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的 直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。 根据平抛运动的规律，水流的运动方程为 把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得： 令 上式可变为 且最小初速= 例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l、质量为 M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。 铁板和水平面间摩擦因数为，人和铁板间摩擦因数为 ，且。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动 的最大距离L是多少？ 解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度。 由于铁板移动的距离越大，L越大。是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。 人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦，根据系统的牛顿第二定律得： 所以 ①哈 设、分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度 因为 ② 且 并将、代入②式解得铁板移动的最大距离 例6：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度 ，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106m），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g） 解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为，卫星发射时具有的机械能为 ① 进入轨道后卫星的机械能为 ② 由E1=E2，并代入解得发射速度为 ③ 又因为在地面上万有引力等于重力，即：④ 把④式代入③式即得： （1）如果r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小 为. （2）如果，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为 例7：如图5—6所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球