抛物形扩散方程的有限差分法数值实例解答.doc

偏微分方程数值解 所在学院： 数学与统计学院 课题名称：抛物形方程的有限差分法及数值实例 抛物形方程的有限差分法及数值实例 (1.1.1) 其中是常数是给定的连续函数按照初边值条件的不同给法可将，满足方程(1.1.1)和初始条件： , (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数，满足方程(1.1.1)和初始条件： , (1.1.3) 及边值条件 ， (1.1.4) 假定和在相应的区域光滑，并且于，两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 (1.2.1) 其中，，,(常数)是扩散系数为空间步长，为时间步长，其中，是自然数，用两族平行直线, 和, 将矩形域分割成矩形网格。其中 表示网格节点；表示网格内点（位于开矩形中的网格节点）的集合；表示位于闭矩形中的网格节点的集合；表示-网格边界点的集合。 表示定义在网点处的待求近似解，，。 现在对方程进行差分近似： 向前差分格式 (1.2.2) ， ==0 (1.2.3) 计算后得： (1.2.4) 其中，，，。 显然这是一个四点显示格式每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的 (1.2.5) 若记 ，， 则显格式(1.2.4)可写成向量形式 (1.2.6) 其中 而对于向前差分格式，当网比时稳定，当时不稳定。这就意味着给定空间步长以后，时间步长必须足够小，才能保证稳定。 1.3抛物型热传导方程数值算例 对于(1.2.1)所描述的扩散方程，取已知方程的精确解为 (1.3.1) 设空间步长，时间步长为网格比 边值条件： ， . 初值条件： 对时间和空间进行分割，令M=40，N=1600，通过Matlab计算得到该方程的解析解，数值解以及相对误差如下： 图(1)解析解的图像 图(2)数值解的图像 图(3)M=40,N=1000的相对误差的图像 我们取部分精确解和数值解进行比较，结果如表(1) 数值解 精确解 相对误差 0.1 0.1 0.1151 0.1152 0.2 0.2 0.0815 0.0816 0.3 0.3 0.0418 0.0419 0.4 0.4 0.0183 0.0184 0.5 0.45 0.0117 0.0118 0.6 0.35 0.0300 0.0301 0.7 0.25 0.0684 0.0686 0.8 0.15 0.5084 0.5085 0.9 0.05 0.3654 0.3654 表(1)数值解与精确解的比较 由表(1)我们可以看出，精确解和数值解的绝对误差在以内因此不变的情况下讲时间和空间进行更加细密，其中处的绝对误差值如下图所示 图(4)M=50,N=10000的相对误差的图像 由图(3)和图(4)，两者在节点处的误差收敛分别是在和以内因此可以得出的结论是以及时我们取 图(5)M=10,N=50的解析解的图像 图(6)M=10,N=50的数值解的图像 图(7)M=10,N=50的绝对误差的图像 此时，我们观察绝对误差发现，扩散方程(1.3.1)时不收敛不稳定的。而前面我们已经知道，到网格比为时方程是收敛稳定的时稳定，当时不稳定。 [参考文献] [1]李荣华，刘播.微分方程数值解法[M].北京.高等教育出版社.2009.1. [2]王曰朋.偏微分方程数值解[OL]. /link?url=-UAAXRI8_V547zVS6UwenT8rGKsbwNf9CuDmh2qmsy5K8eQ32PzhYazZ_sWiHfz_Pj3LA7ufHH4O3t8NIlUCnXNUiyYhssqmNBeArsrLwQG [3]未知.偏微分方程的Matlab解法[OL]. /link?url=WBlR0q9n02YsNg6UOLkCQ4Z5QOCefDKNdEglrNR2TJ8VlxaJ9IkCrLlaEDlJ_OHCLehf19UJU_B7PRe1skQTYaaLcAa1UWcwlv7G