函数定义域、值域求法小结解剖.doc

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）中 二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用方法：（1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① ② ③ ④ ⑤ 解：①要使函数有意义，必须： 即： ∴函数的定义域为： [] ②要使函数有意义，必须： ∴定义域为：{ x|} ③要使函数有意义，必须： ( ∴函数的定义域为： ④要使函数有意义，必须： ∴定义域为： ⑤要使函数有意义，必须： 即 x 或 x ∴定义域为： 例2 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴ ∴ 例3 若函数的定义域为[(1，1]，求函数的定义域 解：要使函数有意义，必须： ∴函数的定义域为： ∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1， ∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。 例4设的定义域是[(3，]，求函数的定义域 解：要使函数有意义，必须： 得： ∵ ≥0 ∴ ∴ 函数的定域义为： 2、求值域问题 1）直接法也叫观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}； 二次函数的定义域为R， 当a0时，值域为{}；当a0时，值域为{}. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1x1) ② ③ （记住图像） 解：①∵-1x1，∴-33x3， ∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②略 ③ 当x0，∴=， 当x0时，=－ ∴值域是[2，+).（此法也称为配方法） 函数的图像为： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①； ②； ③； 解：∵，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y-3 }. ②∵顶点横坐标2[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上，=-2，=1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，=-3，=6；值域为[-3，6]. 例3求的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得： 例4求函数的值域。 分析：首先由0，得+11，然后在求其倒数即得答案。 解：0+11，０＜１，函数的值域为（０，１]． 2）换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数等） 例1求函数的值域。 由于题中含有不便于计算，但如果令：注意从而得：变形得即： 注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。 例2 求函数 的值域 解：（换元法）设 ，则 原函数可化为 例3求函数 的值域 解：（换元法）令，则 由指数函数的单调性知，原函数的值域为 3）配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 例1求函数的值域。 设：配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。 例2求函数的值域。 解答：此题可以看作是和两个函数复合而成的函数，对配方可得：，得到函数的最大值，再根据得到为增函数且故函数的值域为：。 例3若，试求的最大值。 本题可看成一象限动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：，y=1时，取最大值。 4）反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 例1求函数的值域。 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而