函数零点的性质问题解剖.doc

第11炼 函数零点的性质 一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数的方程的根方程的根函数与的交点，从而用可表示出的表达式转化为关于的一元表达式进而可求出范围或最值关于轴对称则同理若关于中心对称则也有将对称的点归为一组在求和时可与对称轴或对称中心找到联系，若且则的取值范围是 B. C. D. 思路：先做出的图像，通过图像可知，如果，则设即由范围可得，从而所以而所以图像易于作出可先作图以便于观察函数特点，从而用表示出达到消元效果是有范围的通过数形结合需与有两交点一个是通过图像判断出的范围从而去掉绝对值例2：已知函数 ，若有三个不同的实数使得 则的取值范围是的图像可作所以考虑作出的图像不妨设由图像可得 ，且关于轴对称所以有再观察且所以从而 小炼有话说：本题抓住关于对称是关键从而可由对称求得使得所求式子只需考虑的范围即可上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 思路：为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。的零点，即为方程的根，即图像与直线的交点。观察图像可得有5个交点：关于对称，，且满足方程即，解得：，关于轴对称， 答案：B 例4：已知，函数的零点分别为函数的零点分别为则的最小值为 B. C. D. 思路：从解析式中发现可看做与的交点可看做与的交点且从而均可由进行表示所以可转化为关于的函数再求最小值即可 答案：B 例5：已知函数有两个不同的零点则 B. C. D. 思路：可将零点化为方程的根进而转化为与的交点作出图像可得进而可将中的绝对值去掉得 ，观察选项涉及，故将①可得，而为减函数且从而即，存在，，则的最大值为 思路：先作出的图像观察可得，所求可减少变量个数利用可得，从而只需求出在的最小值即可，所以函数在单增在单减 答案： 例7：已知定义在上的函数满足 ，且，则方程在区间上的所有实根之和为 B. C. D. 思路：先做图观察实根的特点，在中通过作图可发现在关于中心对称由可得是周期为中关于中心对称以此类推从而做出的图像此处要注意区间端点值图像，可视为将的图像向左平移，刚好与对称中心重合如图所示，其中与 关于中心对称所以有所以，直线与函数的图像相交于四个不同的点从小到大交点横坐标依次记为有以下四个结论 ② ③ ④ 若关于的方程恰有三个不同实根则的取值唯一思路：本题涉及到的取值及的图像从而从图上确定存在个交点时的范围是所以在同一曲线 在同一曲线上所以放在一组放在一组为方程的两根所以由韦达定理可得而为方程的两根且，即所以有，，所以从而而 设则为增函数 ③正确 ④可将问题转化为与的交点个数问题通过作图可得的值不唯一，若且则的值相关时为单调函数时的图像相当于作时关于对称的图像再进行上下平移所以也为单调函数由此可得时必两段上 ，可得设从而将均用表示再判断与的大小即可，不妨设则 若，则为减函数且 若，则为函数且 的值恒大于 答案B 例10：定义函数，则函数在区间（）内的所有零点的和为（ ） A． B． C． D． 思路：从可得函数是以区间为一段其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的，从而先作出时的图像再依以上规律作出的图像的零点转化为，即与的交点通过作图可得中极大值点为所以所有零点之和为 轴划分成一个个区间其入手点在于的出现体现了横坐标之间恰好与相交在极大值点处这一点需要通过计算得到当时，从而归纳出规律所以处理图像交点问题时如果在某些细节很难通过作图直接确定要通过函数值的计算来确定两图像的位置，若存在，当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C