实验力学解答.doc

1、相似定理 （1）相似的概念 相似是指物理现象的所有物理量在对应地点和对应时间具有一定的相似关系。 其中最简单的就是几何相似，如三角形相似 在相似理论中，除了几何相似之外，还有载荷相似、质量相似、刚度相似等。 为了保证两个物理现象的相应物理量在对应地点和对应时间具有相似关系，在保证物理量之间具有比例关系的前提下，还必须使物理量的相似系数之间保持一定的组合关系。 （2）相似定理 1）相似第一定理 两个彼此相似的物理现象，其相似指标为l，相似判据为不变量，这就是相似第一定理。 设有两个现象彼此相似，可用同一方程来表示，如作用于沿直线运动的质点上的作用力及其所产生的加速度满足牛顿第二定律，即 设两个现象的作用力、质量和加速度的相似系数分别为 则有 代入上面第二式得 显然，若这两个物理现象相似，则有 令 ,则 (C 称为相似指标。) 上式表明，两个相似现象的各物理量的相似系数之间应满足相似指标为1。 另外 令 ,则上式可写成如下形式 （同一数值） 上式称为相似判据。显然两个相似现象的各物理量之间应满足相似判据为不变量。 2）相似第二定理 表示物理现象各物理量之间的关系方程，都可以转变为无量纲方程形式，无量纲方程的各项即为相似判据，这就是相似第二定理。 由相似第一定理知，彼此相似的物理现象具有相同的相似判据，所以可根据相似第二定理推知，彼此相似现象的判据方程相同。 设等截面直杆，两端受一对偏心拉力作用，设拉力为F，偏心距为e，则杆件最大拉应力可表示为 方程两边如果除以其中一项，可以得到无量纲方程形式 式中各项均无量纲 和 均为相似判据 若此杆有两个相似的物理现象，则对第一和第二现象分别有 设各物理量相似系数分别为 则有 代入上面第二式得 显然，如果两个现象相似则必须有 因此，上式可作为相似条件。和相似第一定理一样可表达为彼此相似现象的相似指标为1。 同样可得到 上式即为相似判据，表示两个相似现象的各物理量之间应满足相似判据为不变量。 相似第二定理又称为π定理。 3）相似第三定理 在物理方程相同的情况下，如果两个现象的单值条件相似，即由单值条件导出的相似判据与现象本身的相似判据相同，则这两个现象一定相似。 相似第一和第二定理明确了相似现象的性质，它们是在假设现象相似为已知的基础上导出的，但是没有说明判别相似现象所需的条件。在物理方程相同的情况下，单值条件觉定所研究过程中各个物理量的大小，因此单值条件相似判据就成为相似的充分条件。在模型实验时，只有模型的单值条件与实物结构相同，且相似判据相等，模型才能与实物结构相似。因此，模型实验时，首先求出相似判据，进而设计模型，然后模拟单值条件进行实验，根据实验结果推算实物结构的结果。 所谓单值条件，是指一个现象区别于一群现象的哪些条件。属于单值条件的因素有：几何特性、时间、材料特性、边界条件、初始条件等。 ①几何相似 如果模型上所有方向的线性尺寸均按实物的相应尺寸用同一比例常数确定，则此模型与实物（原型）几何相似。 下标为P的表示实物结构，为M的表示模型的物理量。在几何相似系统中，任何相应点（i点）的坐标应满足 （ 称为几何相似常数 ， 是长度尺寸的物理量） 若不满足上述条件，则设计的模型为变态相似模型。 ②时间相似 在动力问题中，如果模型上的物理量与原型的物理量在对应的位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动的方向一致，则为时间相似。 物理量随时间变化的过程中，每一时刻都对应着一批确定的物理量。由于其总是在相同的时间基础上进行的，因此必须保持不变的时间比例关系： （ 称为几何相似常数 t是物理量的时间间隔） ③物理参数相似 对于弹性结构有影响的物理参数，有弹性模量、泊松比、密度等，在模拟时，应满足下列比例关系 ④初始条件相似 物理现象一方面取决于该现象的本质，另一方面也取决于它的初始条件，因此模拟时必须满足初始条件的相似，而且其相似比例尺应与过程中的比例尺相一致。 ⑤边界条件相似 在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，显然还要满足边界条件相似，不同的边界条件处理方法是不同的。 相似第三定理表明，当考虑一个新现象时，只要它的单值条件与曾经研究过的现象单值条件相同，并且存在相等的相似常数，就可以确定现象相似，从而可以将已研究过的现象的结果应用到新现象上。相似第三定理的发现使相似理论构成了一套完善的理论，成为组织试验和进行模拟的科学方法。在模型实验中，为了使模型与原型相似，必须 按相似理论推导出相似判据方程，模型设计应在保证相似判据方程成立的基础上确定出适当的相似常数