几何中的基本模式选编.docx

几何中的基本模式想加快解几何题的速度，就要牢记常见的几何命题的图形、条件和结论。我把它叫做“几何基本模式”。“基本模式”虽然不是定理，虽然不能在证明过程中直接应用，但其作用不亚于定理，至少我们可以在填空题、选择题中加以应用，还可以运用它进行问题的分析，作为推理的依据，看清解题思路，加快思维速度。几何基本模式就是我们解题的经验，模式记得越多经验就越多。下面举例一一加以说明。一、角平分线的基本模式1、同旁内角的角平分线互相垂直如图，直线a∥直线b，AC和BC是一对同旁内角的角平分线，那么AC⊥BC.例1 ?如图平行四边形ABCD中，四个内角的角平分线围成一个四边形EFGH，请判别这个四边形是什么特殊的四边形.解：由本几何模式可知，四边形EFGH是矩形.2、邻补角的角平分线互相垂直如图，OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，那么OD⊥OE.例2 ?（天津2012）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．解决以上问题这要用到PO⊥PQ的结论。利用这个结论我们还可以证明CC’∥PO.例3 ?如图，一张平行四边形纸片ABCD，E,F,G,H分别在四条边上，分别沿FG,GE,EH,HF将三角形AFG,BGE,CEH,DHF折叠，结果A和B都落在EF上的A’， C和D都落在EF上的C’，得到一个信封EHFG，若AD=10，AB=6，求EF的长。?解：由上述基本模式可知，四边形EHFG为矩形，所以EF=GH=AD=10.3、平行线+角平分线?等腰三角形如图，OC平分∠AOB，D、E分别在AO、CO上，DE∥OB，那么DE=OD.反之亦然。例4 ?如图DB、DC分别平分△ABC的内角，过D点作EF∥BC交AB、AC于E、F，AB+AC=12，求△AEF的周长.解：利用这个基本模式可得：ED=EB，FD=FC，所以△AEF的周长=AB+AC=12.例5 ?如图，已知A(-8,0)，B(12,0)，C(0,-6)，D(2,0)，E在x轴负半轴，F在BC上，EF被CD垂直平分，求E,F的坐标。解：连DF，那么CD平分∠ADF，又△ACD为等腰三角形，上面是模式告诉我们：角平分线、平行线和等腰三角形三个条件中，知其二推其余。故DF∥AC，所以DF是中位线，DF=AC/2=5=DE，这样就不难求得E(-3,0)，F(6,-3).二、全等三角形的基本模式1、角平分线+垂线?全等三角形如图，D是∠CAB的边AC上一点，过D作∠CAB的平分线的垂线于F，交AB于E，那么△AFD≌△AFE。例6 ?如图，△ABC的周长为8，BF、CG分别平分外角∠ABE和∠ACD，过A点作BF、CG的垂线，垂足为M、N，求MN的长。根据基本模式，可以延长AM、AN交直线BC于P、Q，由基本模式的结论可知△AMB≌△PMB及△ANC≌△QNC，所以M、N是AP、AQ的中点，所以MN=PQ/2=8÷2=4。2、两个全等的直角三角形一横一竖放?等腰直角三角形如图1，△BCE是等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，A,D,B共线，那么△ABC≌△DEB。反之亦然。如图2，正方形ABCD和正方形EFGH，那么四个直角三角形全等。反之亦然。例7 ?如图，正方形ABCD中，A,B在坐标轴上，C,D在反比例kx图象的第一象限分支上，求证：OA=OB.解：如图作坐标轴的垂线，得到三个直角三角形全等。设OA=a，OB=b，那么D(a,a+b)，C(a+b,b)，所以a(a+b)=b(a+b)，a=b。3、SSA基本模式定义：我们把两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等的现象叫做“SSA”。SSA有以下两条性质：1.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形可能全等，可能不全等。（所以不能利用“SSA”判定两个三角形全等）2.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形如果不全等，那么它们的面积相差一个等腰三角形。例8 ?如图，已知△ABC和△A’B’C’中，使AB= A’B’=8cm，AC= A’C’=5cm，∠B=∠B’=30°, 如果△ABC和△A’B’C’不全等，求它们的面积之差是多少平方厘米。解：由上面性质2可知，如果把这两个三角形重叠起来，就相差一个等腰三角形（如图）。其中A与A’重合，B 与B’重合，设C’落在BC上，作高AD，那么由几何性质知AD=4，CD=3，S△ACC’=12，此即为