06并查集(最小生成树).ppt

1 经典应用——最小生成树 5、算法过程示意： 5 6 4 2 3 1 1 6 5 3 4 6 5 2 6 5 原始图 5 6 4 2 3 1 5 3 4 2 最小生成树 第七讲 并查集（Disjoint Set） 导引问题（1798） 在某个城市里住着n个人，现在给定关于 n个人的m条信息（即某2个人认识）， 假设所有认识的人一定属于同一个单位，请计算该城市最多有多少单位？ 如何实现？ 什么是并查集？ 英文：Disjoint Set，即“不相交集合” 将编号分别为1…N的N个对象划分为不相交集合， 在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。 常见两种操作： 合并两个集合 查找某元素属于哪个集合 所以，也称为“并查集” 实现方法（1） 用编号最小的元素标记所在集合； 定义一个数组 set[1..n] ，其中set[i] 表示元素i 所在的集合； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 1 4 2 6 1 6 2 2 i Set(i) 不相交集合： {1,3,7}, {4}, {2,5,9,10}, {6,8} 方法(1)——效率分析 find1(x) { return set[x]; } Merge1(a,b) { i = min(a,b); j = max(a,b); for (k=1; k=N; k++) { if (set[k] == j) set[k] = i; } } Θ(1) Θ(N) 有待改进？ 对于“合并操作”，必须有哪些信誉好的足球投注网站全部元素！ 树结构如何？ 实现方法（2） 每个集合用一棵“有根树”表示 定义数组 set[1..n] set[i] = i , 则i表示本集合，并是集合对应树的根 set[i] = j, ji, 则 j 是 i 的父节点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 2 1 3 4 3 3 4 i Set(i) 1 5 2 4 7 10 3 6 8 9 方法(2)——效率分析 find2(x) { r = x; while (set[r] != r) r = set[r]; return r; } merge2(a, b) { set[a] = b; } Θ(1) 最坏情况Θ(N) 一般情况是…? 困惑~~~ 性能有本质改进? 如何避免最坏情况? 进一步优化——路径压缩 思想：每次查找的时候，如果路径较长，则修改信息，以便下次查找的时候速度更快 步骤: 第一步，找到根结点 第二步，修改查找路径上的所有节点，将它们都指向根结点 带路径压缩的查找算法 find3(x) { r = x; while (set[r] != r) //循环结束，则找到根节点 r = set[r]; i = x; while (i != r) //本循环修改查找路径中所有节点 { j = set[i]; set[i] = r; i = j; }} 路径压缩示意图 9 10 8 12 20 21 16 4 6 11 1 6 4 11 1 10 12 9 8 20 21 16 示例—畅通工程(1796) 题目描述： 某省调查城镇交通状况，得到现有城镇道路统计表，表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通（但不一定有直接的道路相连，只要互相间接通过道路可达即可）。问最少还需要建设多少条道路？ 题目分析 最赤裸裸的并查集，无话可说～ 附:参考源码(1796) 示例—迷宫城堡(1797) 下面的例子，前两个是符合条件的，但是最后一个却有两种方法从5到达8。 题目分析: 该你们来说了～ 经典应用——最小生成树MST（mining spanning tree） 1、什么是——生成树？ 5 6 4 2 3 1 1 6 5 3 4 6 5 2 6 5 5 6 4 2 3 1 1 5 4 6 5 a.带权图 b.生成树 经典应用——最小生成树 2、什么是——最小生成树？ 5 6 4 2 3 1 1 6 5 3 4 6 5 2 6 5 a.带权图 c.最小生成树 5 6 4 2 3 1 1 5 3 4 2 经典应用——最小生成树 3、如何求——最小生成树？（1664） A) Prim （普里姆）算法 B) Floyd(弗洛伊德)算法（类似思想） 理论基础：MST性质（证明…） C) Kruskal(克鲁斯卡尔)算法 Floyd(弗洛伊德)算法 3 1