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经济数学基础微分学部分学习辅导 第一部 微分学 第1章 函数 　　1．理解函数概念。 理解函数概念时，要掌握函数的两要素((定义域和对应关系，这要解决下面四个方面的问题： （1）掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值。函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范围。学生要掌握常见函数的自变量的变化范围，如分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等。 例1 求函数的定义域。 解 的定义域是，的定义域是，但由于在分母上，因此。故函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即1x2。 （2）理解函数的对应关系的含义：表示当自变量取值为时，因变量的取值为。例如，对于函数，表示运算： 于是，，。 设 ，求。 解 由于，说明表示运算：，因此 ＝ 再将代入，得 = （3）会判断两函数是否相同。 从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。 例3 下列函数中，哪两个函数是相等的函数： A.与 B. 与 解 A中的两个函数定义域相同， 对应规则也相同，故它们是相等的函数；B中的两个函数定义域不同，故它们是不相等的函数。 （4）了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。 例4 设，求函数的定义域及。 解 函数的定义域是，,。 2．掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点； 判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即 若，则为偶函数； 若，则为奇函数。 也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”的性质来判断。 例5 下列函数中，（ ）是偶函数。 A. B. C. D. 解 根据偶函数的定义以及奇函数×奇函数是偶函数的原则，可以验证A中和都是奇函数，故它们的乘积是偶函数，因此A正确。既然是单选题，A已经正确，那么其它的选项一定是错误的。故正确选项是A。 3．了解复合函数概念，会对复合函数进行分解； 例6 将复合函数分解成简单函数。 解 。 4．知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形。 基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质及图形在微积分中常要用到，一定要熟练掌握。 5．了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念。 6．会列简单应用问题的函数表达式。 例7 生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求： 生产件该种产品的总成本和平均成本； 售出件该种产品的总收入； 若生产的产品都能够售出，则生产件该种产品的利润是多少？ 解 （1）生产件该种产品的总成本为 ； 平均成本为 。 （2）售出件该种产品的总收入为。 （3）生产件该种产品的利润为 ==. 第2章 导数与微分 1．掌握求简单极限的常用方法。 求极限的常用方法有 （1）利用极限的四则运算法则； （2）利用两个重要极限； （3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）； （4）利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）； （2） （3）； （4）。 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则计算 = = = （2）利用第一重要极限和四则运算法则计算 （3）利用函数的连续性计算 ＝ （4）利用第二重要极限计算 ＝。 2．知道一些与极限有关的概念 （1）知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； （2）了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； （3）了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。 例2 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. B. C. D. 解 A中：因为 时，，故 ，不是无穷小量； B中：因为时，，故是无穷小量； C中：因为 时，，故；但是时，，故，因此当时不是无穷小量。 D中：因为，故当时，，不是无穷小量。 因此正确的选项是B。 例3 下列极限计算正确的是（ ）。 A. B. C. D. 解 A不正确。因为不存在，故不能直接用乘积的运算法则，即 B正确。将分子、分母同除以 ，再利用第一个重要极限的扩