解排列组合应用问题的十种思考方法.doc.docVIP

“解排列、组合应用问题”的思维方法 一、优先考虑： 对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。 例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。 （2） 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个。 （3） 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。 二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。 例2．（1） 有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有 种。 （2） 有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。 三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。 例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有 种陈列方法。 （2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。 四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。 例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。 （2） 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。 （3）集合有8个元素，集合有7个元素，有4个元素，集合有3个元素且满足下列条件：的集合有几个。 （4）从6名短跑运动员中选4人参加4(100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？ 五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。 例5（1）用1、2、3、(9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。 （2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有 种不同的奖法。 （3）有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有 种分配方法。 六、除以排列数：对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列。 例6（1）有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不同的排法有 种。 （2）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有 个。 （3）书架上放有5本书（1~5册），现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放法。 七、对象互调：有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。 例7．（1）一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有 种放映次序。 （2）一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有 种。 （3）有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有 种。 八、分情况研究：分情况研究（即分类计算）复杂的排列、组合综合题，常常通过画简图、按元素的性质“分类”；按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果，尤其对含数字“0”的排列，常分“有0”及“无0”两种情况研究，在“有0”时，排列的“首位”又是“特殊”位置要优先考虑。 例8．（1）从编号为了1、2、3 ( 9的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这四个球排成一排，共有多少种不同的排法？ （2）用0、1、2、3(9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个？ （3）用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序排列23140是第几个数？ 排 列 与 组 合 (思考方法1～8训练) 一．优先考虑 1．现有6名同学站成一排： （1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？ （2）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？ 2．用，5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个？ 二．插空 3．有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？ 4．有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相邻有 种排法；（2）男女相间有 种排法。 三．捆在一起 5．由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不