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第三章 时域离散信号和系统的Z变换分析 §1 序列Z变换的定义 对, 无FT, 故引入Z变换. 的Z变换:, 对因果, 有, 其中 ,的取值使上式收敛, 所得区域称为的收敛域,一般为(类似幂级数） 或, 变换结果常为有理函数 的根称为的零点; 的根称为的极点; 极点为界, 域中无极. 例1 设, 求和收敛域. 解 , 收敛域为 即或. 写成,零点,极点. FT与ZT的关系 (域中无极) ,即单位圆上变换. (收敛域包含单位圆周= =有FT变换) 例2(注无FT), 求其ZT和收敛域. 解 , 收敛域为,即. 注 例1,2 均为右单边变换, 收敛域均为. §2 序列特性与收敛域 1. 有限长序列 的ZT , (1) , 收敛域: ; (2) , 收敛域: ; (3) , 收敛域: ; 例1 求的ZT和收敛域. 解 , 收敛域. 零极点分析: , 的零点: 的极点:(N-1)阶,一阶,可与零点对消. 故收敛域, 圆在域中,有FT.(本质是有限长) 2. 右序列的ZT (i) 当, 有, 对, 收敛域: ; 对, 收敛域: , 综合为. (ii) 当, 收敛域: 例2 求的Z变换及其收敛域. 解 , 收敛域: ,即,(右外) 当, 收敛域中无单位圆周(无FT; 当, 收敛域中含单位圆周(有FT; 此时的FT为. 3. 左序列的ZT (i) 当, 有, 对, 收敛域: ; 对, 收敛域: , 综合为. (ii) 当, 收敛域: . (左内) 例3 求的Z变换及其收敛域. 解 , 收敛域: , (注 变换后及, 左内) 当, 收敛域中含单位圆周(有FT; 当, 收敛域中无单位圆周(无FT; 4. 双边序列的ZT和收敛域(左内右外) , 例4 求为实数, 求ZT和收敛域. 解 , 应有 且. 另当时, 收敛域非空(含单位圆周(FT变换). , 极点(),因是双边序列, 故是环形. . 如a=0.7, 时域上的图为 总结: (1) 域中无极, 极点为界; (2) 有限序列, 收敛域几乎Z; 另考虑; (3) 右序列, 收敛域为某圆外; 另考虑; (4) 左序列, 收敛域为某圆内: 另考虑; (5) 双边序列, 收敛域为某圆环; 另考虑; 5. 常见序列, ZT, 收敛域 序列 ZT 收敛域 1 §3 逆Z变换定义及计算方法 其它计法 (i) 留数法; (ii) 幂级数法; (iii) 部分分式法 1. 留数定理法 记, 为在内的极点, 则 . 当是单阶的, 则 ; 当是N阶的, 则 ; 此式可改用辅助定理(圈外极点) 注 设,(书上误) 辅助要求:的或 例1 设和收敛域, 求. 解 当, 围线内仅有一单极点,故有 , 当, 围线内有高阶极点, 改用辅助定理, 得 ,(线外无极点, 收敛域内闭路积分为零). (或直接判断, 由, 含知是因果列). 例2设, , 收敛域, 求. 解 , 当, 围线内有二单极点,故有 , 当, 围线内有高阶极点, 改用辅助定理, 得 ,(线外无极点) 或因为收敛域含, 所以是因果列(, 最后 例3设, 收敛域, ,求. 解 当, 围线内无极点,故有, 当, 围线内有高阶极点, 改用辅助定理, 线外有二个单极点, 故 . 即. 例4设, 域 ,求. 解 当, 围线内仅有一单极点,故有 , 当, 围线内有一个单极点和一个高阶极点, 改用辅助定理, 线外有一个单极点, 故 , 即. 用留数法步骤: (1) 确定题中给出收敛域 (2) 求出中极点 (3) 作出收敛域中任一封闭曲线 (4) 由和,留数定理或辅助定理求出. 2. 负幂级数法(长除法) 例5设,收敛域,求 解 这是因果列, 作除法 所以. 3. 部分分式法 再反查表. 例6 设, ,求. 解 对及的极点2(收敛域 , (; 对及的极点(收敛域, (; 所以. 注 一般多为右序列. 作业 P78 1(1,2) 2(1,2) 4(1,2) 5(1,2) 第 25 页 共 25 页