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２圓與直線 2-1　圓方程式 重點整理 1. 圓的標準式：以為圓心，且半徑為的圓方程式 (　。 2. 圓的一般式：圓方程式的形式為的二元二次方程式，其中 (1) 、項的係數相等。 (2) 方程式中不包含項。 3. (1) 若，則方程式表示一個圓，其圓心坐標為，半徑為。 (2) 若，則方程式表示一個點，此點坐標為。 (3) 若，則方程式在坐標平面上沒有圖形。 4. 我們稱為圖形的判別式。 基本練習題 試求以為圓心，半徑為的圓方程式。 以圓的標準式表示其圓方程式為 (　 試求以為圓心，半徑為的圓方程式。 以圓的標準式表示其圓方程式為 (　 試求圓的圓心與半徑。 由圓的標準式得知 之圓心為，半徑為 試求圓的圓心與半徑。 由圓的標準式得知 之圓心為，半徑為 試求以為圓心且通過的圓方程式。 ∵　所求的圓通過 ∴　半徑為到的距離 (　 利用圓的標準式可知 圓方程式為 試求以原點為圓心且通過的圓方程式。 ∵　所求的圓通過 ∴　半徑為到的距離 (　 利用圓的標準式可知 圓方程式為 試求以，為直徑兩端點的圓方程式。 ∵　圓心為直徑的中點 ∴　圓心坐標為 ∵　半徑為到圓心的距離 ∴　 以圓的標準式表示 圓方程式為 試求以，為直徑兩端點的圓方程式。 ∵　圓心為直徑的中點 ∴　圓心坐標為 ∵　半徑為到圓心的距離 ∴　 以圓的標準式表示 圓方程式為 試求以為圓心且與直線相切的圓方程式。 ∵　所求圓與直線相切 ∴　半徑為圓心到直線的距離 即 以圓的標準式表示 圓方程式為 試求以為圓心且與直線相切的圓方程式。 ∵　所求圓與直線相切 ∴　半徑為圓心到直線 的距離 即 以圓的標準式表示 圓方程式為 試求圓的圓心與半徑。 利用配方法 將配方 (　 (　 (　 (　圓心為，半徑為 試求圓的圓心與半徑。 利用配方法 將配方 (　 (　 (　 (　圓心為，半徑為 試求圓的圓心與半徑。 原式　(　 　　　(　 　　　(　 　　　　　 　　　(　 　　　(　圓心為，半徑為 　　　　　 試求圓的圓心與半徑。 原式　(　 　　　(　 　　　(　 　　　　　 　　　(　 　　　(　圓心為，半徑為  試判別下列二元二次方程式的圖形： (1) (2) 。 利用判別式 (1) ∵　此方程式之判別式為 　　 　 ∴　其為一個點 此點坐標為 (2) ∵　此方程式之判別式為 ∴　其為一個圓 此圓圓心為 其半徑為 試判別下列二元二次方程式的圖形： (1) (2) 。 利用判別式 (1) ∵　此方程式之判別式為 ∴　其在坐標平面上沒有圖形 (2) ∵　此方程式之判別式為 　　 ∴　其為一個點 此點坐標為 設為實數，若方程式的圖形為一圓，試求的範圍。 ∵　此方程式的圖形為一圓 ∴　此方程式之判別式 (　 (　 (　 (　 (　或 設為實數，若方程式 的圖形為一點，試求值。 ∵　此方程式的圖形為一點 ∴　此方程式之判別式 (　 (　 (　 (　或 試求通過，，三點的圓方程式。 設圓方程式為 將三點代入上式 (　 (　 將代入(　(　　 (　 將代入(　(　 (　 ∴　此圓方程式為 試求通過，，三點的圓方程式。 設圓方程式為 將三點代入上式 (　 (　 由(－(　(　……( 由(－(　(　 由(　(　 (　，， ∴　此圓方程式為 2-2　圓與直線的關係 重點整理 1. 若之坐標為，圓的方程式為或 (1) 若或，則點在圓的內部，反之亦然。 (2) 若或，則點在圓上，反之亦然。 (3) 若或，則點在圓的外部，反之亦然。 2. 已知直線與圓，設圓心與直線的距離為，則。 (1) 若，則直線與圓相割，反之亦然。 (2) 若，則直線與圓相切，反之亦然。 (3) 若，則直線與圓相離，反之亦然。 3. 切線方程式的求法： (1) 過圓上一點，求切線方程式： (過圓上一點的切線方程式為 。 (過圓上一點的切線方程式為 。 (2) 過圓外一點，求切線方程式： 過圓外一點的切線方程式， (找出圓心與半徑。 (設切線斜率為，利用點斜式可得切線方程式為 (　。 (利用圓心到切線的距離等於圓的半徑　(　，即可求出值。 (將值代入，即得切線方程式。 4. 圓的切線段長之求法： (1) 自點到圓的切線段長為。 (2) 自點到圓的切線段長為。 基本練習題 試判斷點落在圓之外部、內部或圓上。 將代入　(　 ∴　點落在圓外部 試判斷點落在圓 之外部、內部或圓 上。 將代入　 (　 ∴　點