第一冊2-3平面座標系.docVIP

單元名稱 第一冊2-3：平面坐標系 教師 許紋靜 教學資源 高中數學課本、粉筆、黑板 教學方式 講述法 教學時數 4節 單元目標 了解坐標系的意義 會使用兩點距離去處理相關的幾何問題 了解直線斜率的涵義及斜率的求法 能掌握平行線間的斜率關係及垂直線間的斜率關係 會導出直線方程式及作圖 2-3平面座標系 　　在平面上取兩條互相垂直的直線，水平線為 X軸，向右為正向，鉛直線為Y軸，向上為正向 　　X軸與Y軸交點為0，稱為原點，又任意取 一單位長，而得出兩條互相垂直的數線。 設P點為平面上任一點，由P向X、Y軸分別作垂線交於A、B兩點，若A、B在X、Y軸上所對應的數分別為a、b，則P點的座標便為(a,b)，記作P(a,b)。其中a為P之X座標，b為P之Y座標，(a,b)雖然是由a、b兩數所組成，但因它與a、b之排列次序有關，故我們通常稱(a,b)有序數對，或簡稱數對。 反之，任意給一數對(a,b)，我們先在X、Y軸上找出與a、b對應之點A、B，再分別作通過A、B且垂直X軸、Y軸之直線，則此二直線之交點P之座標便是(a,b)。 由1、2知，平面上的任一點均可用一個數對來表示，如此便可得到一個直角座標系，簡稱平面座標系 在座標平面上任意兩點，由圖可知、與二座標軸的平行線成一直角三角形，故可利用畢氏定理得 例1：在座標平面上，描出A(5,7)、B(2,1)、C(4,0) 並利用距離公式證明ABC為直角三角形 (證)∵ ∴ 故ABC為一以B為直角之直角 學生練習 求兩點與的距離 設之三個頂點坐標為，試比較三內角的大小 數學界在17世紀的三大發明是： １.解析幾何 2.指數對 3.微積分 其中指數對及微積分在以後的課程中會陸續接觸到， 何謂解析幾何，便是將幾何的問題轉成代數的方式來考慮，如幾何圖形之基本元素點，我們可利用一個數對表示，而數對又可對應到平面座標上，故幾何中的點便可利用直角座標系的一個座標來表示。 　　既然點可利用座標來表示，那直線若利用平面座標系來表示時，又是如何？ 在研究此問題前，先介紹一個概念：直線的斜率(Slope)： 直線的斜率 ∵兩點決定一直線且考慮不平行於Y軸 ∴在平面座標上任取兩相異點 斜率m= 『(補充說明：) 為何不定義m= 事實上，當然可以如此下定義，但不論斜率m下何種定義方式（m= 或m= ），請注意斜率的定義方式為一個函數的表示方式，而習慣上我們會以x的變動範圍作為函數的定義域，若當將斜率函數採m=此種定義，則馬上可以知道 但若定義m= ，則由P、Q相異的條件中我們不能確定此二數相等與否， 故一定義m= ，則必須先檢驗 ，那m才有意義，故為方便起見， 全世界均以m= 為斜率之定義』 由右圖知， 當直線為右下到左上傾斜時， 其斜率為負的 當直線為左下到右上傾斜時， 其斜率為正的 又m0，m值愈大，直線的傾斜程度愈大；m0，-m值愈大，直線的傾斜程度愈大 結論：|m|愈大，則直線的傾斜程度愈大 又由m6=0知，當m=0時表一水平線 P.S 鉛垂線是沒有斜率的 (∵分母X2-X1=0) 斜率分別為m1及m2之兩直線L1、L2互相平行 m1=m2 若 L1平行L2  斜率分別為m1及m2之兩直線L1、L2互相平行 m1m2=-1 (pf) 因為 m= ， 若，則m為一分數，在計算上會較麻煩 為方便起見 設Q(a,b)= 取L1上異於Q之點 取L2上異於Q之點 使得P1、P2之X座標均為a+1 學生練習 1.設三點共線，求直線之斜率 別忘了我們大費周章去說明斜率的概念，目的仍是為了求直線在座標平面上之表示方法： 以下先看兩種特殊情形：鉛直線與水平線 如圖， L1為過點(0,b)之水平線 則L1上任一點均為(□,b)之形式 故以y=b表L1之直線方程式 同理：L2為過點(a,0)之直線，則L2上任一點均為(a,□)之形式，故以x=a表L2之直線方程式 對於有斜率之直線(鉛垂線無斜率(Slope))，求其直線方程式之方法，主要有以下四種： 點斜式：設直線L過點A(X0,Y0)，且斜率為m，則L之直線方程式為L: (pf) 取L上異於()之任一點P(X,Y) ∵mL=m=mAP ∴m=  『（補充說明） 由m= 到只差一步，為何不以m= 來表L呢？ 這是因為m= 為分數形式，則分母不能為0，即，故m= 表L挖掉 這點之後的軌跡，因而不夠嚴密。 　　當以時，則可滿足此方程式，故以來表示L的直線方程式』 2.兩點式：設直線?L為過A、B兩點之直線，則L之直線方程式為 L： (證明) 3.斜截式：設直線L之斜率為m，y截距為b，則L之直線方程式為L:y=mx+b ①何謂截距 　　若直線L在X軸上的交點座標(a