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五 空间角和距离 知识要点： 1．两条异面直线所成的角：经过平行移动转化为相交直线，解与相交直线有关的三角形。 2．直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的角。 3．二面角的求法： （1）定义法： （2）三垂线法：（3）射影面积法 4．距离的转化思想 点面距离 线面距离 面面距离 5．思想方法： （I）平面几何意识：中线、中位线意识；平行四边形或矩形的对角线意识；重心、垂心意识。 （II）几何体的割补意识 题例 1. 已知二面角， （A） （B） （C） （D） 2．如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 3．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______ 4．如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ） A．arcsin B．arccos C．arcsin D．arccos 5．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－－BB，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________． 6．在正三棱柱中ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为 （A） （B） （C） （D） 7．正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到 侧面的距离是　　　　. 8．已知平面α∥平面β，直线mα，直线n β，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则 A.b≤a≤c B.a≤c≤b　　　　C. c≤a≤b D. c≤b≤a 9．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为 （A）　　（B）　　（C）　　（D） 10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=， BB1=2，，E、F 分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面 从E到F两点的最短路径的长度为 . 11．如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形， 将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。 　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小。 　　　　　　 图2 图1 解．解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，） O1（0，0，）. 从而 所以AC⊥BO1. （II）解：因为 所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC， 是平面OAC的一个法向量. 设是0平面O1AC的一个法向量， 由 得. 设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，， 所以cos，= 即二面角O—AC—O1的大小是 解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1内的射影. 因为 ， 所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1 由三垂线定理得AC⊥BO1. （II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC. 设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC. 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角. 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1， 所以， 从而， 又O1E=OO1·sin30°=，所以 即二面角O—AC—O1的大小是 12．在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形， 平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点. （Ⅰ）证明：AC⊥SB； （Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小； （Ⅲ）求点B到平面CMN的距离. 解：本小题主要考查直线与直线，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 解法一：（Ⅰ）取AC中点D