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函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析 函数的奇偶性定义： 1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数． 2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数． 二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； 2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立； 3、可逆性：是偶函数；奇函数； 4、等价性：；； 5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称； 6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 　　 8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 三、关于奇偶函数的图像特征 一般地： 奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数=f(x)的图像关于原点对称 　　点（x,y）→（-x,-y） 　 偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。 即： f(x)为偶函数=f(x)的图像关于Y轴对称 　　点（x,y）→（-x,y） 　　 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。） 偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。 2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M. (2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 五、关于函数奇偶性的简单应用 1、函数的对称性 如果函数f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)的图象关于直线?______对称． 一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的对称轴方程是?______. 两个函数与 的图象关于直线对称. 2、函数的周期性 函数的周期性的定义：设函数y＝f(x)，x∈D，若存在非零常数T，使得对任意的x∈D都有?________，则函数 f(x)为周期函数，T为y＝f(x)的一个周期． (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (3)周期函数不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也一定是f(x)的周期． 若函数f(x)对定义域中任意x满足f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝－(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，它的一个周期是?________.若,则函数的图象关于点对称; 六、函数的奇偶性的判断 函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。 判断函数奇偶性的方法： （1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下： 1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数； 若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系怎样成立？ 若成立，则为偶函数；若成立，则为奇函数； 若成立，则为既是奇函数也是偶函数；若都不成立，则为非奇非偶函数。 2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则． 3．由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其 对称区间上的性质． 4．若T是f(x)的一个周期，则kT(k≠0，k∈Z)也是f(x)的周期． 5．(1)若函数f(x)存在两条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数；若函数f(x)具有奇偶性，又 有一条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数． 6．注意函数性质的逆向应用． （2）、图像法：　 f(x)为奇函数=f(x)的图像关于原点对称 　　点（x,y）→（-x,-y） 　　 f(x)为偶函数=f(x)的图像关于Y轴对称 　　点（x,y）→（-x,y） 　　 、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断 函数奇偶性。 　　 、性质法 　　 、函数奇、偶性的运算：利用已知函