四直线与直线垂直关系.doc

四 直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 知识要点： 1．垂直关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直 2．垂直关系的判定定理 （1）线线垂直的判定定理： 判定定理1：，判定定理2：三垂线定理及其逆定理 （2）线面垂直的判定定理： 判定1： ，判定2： ： 判定3： ： （3）面面垂直的判定定理：判定： 3．垂直关系的性质定理： 线面垂直的性质定理： 性质定理1: ，性质定理2: 面面垂直的性质定理： 题例 1．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ） A．若 B． 则 C． D． 2．如图在正三棱锥A—BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A—BCD的体积是 ( ) A. B. 　　　C. D. 3．已知、是平面，、是直线，给出下列命题 ①若，，则 ②如果，，则 ③如果，，是异面直线，那么不与相交。 ④若，且，，则且。 其中真命题的个数是 A、1 B、2 C、3 D、4中，底面是矩形， 平面，且，点是棱的中点， 点在棱上移动. (Ⅰ)当点为的中点时，试判断直线与平面的 关系，并说明理由； (Ⅱ)求证：. 5．如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。 （Ⅰ）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。 6．如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。 （1）求证：DM∥平面APC； （2）求证：平面ABC⊥平面APC； （3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积． （1）由已知得，是ABP的中位线 （2）为正三角形，D为PB的中点， 又 又 平面ABC⊥平面APC （3）由题意可知，，是三棱锥D—BCM的高， （1）求证：； （2）求证：A1C//平面AB1D； （3）求点A1到平面AB1D的距离。 8.如图，底面为正三角形， 面， 面， ，设为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 9.在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥． （1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明； （2）求多面体E-AFMN的体积． 解.（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线， 则． （2）因为平面BEF，且，∴， 又　∴． 10．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （Ⅰ）证明AB⊥平面VAD； （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 解：方法一：（Ⅰ）证明： （Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE ∵△VAD是正三角形∴AE⊥VD，AF=AD∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE 又由三垂线定理知BE⊥VD 因此，是所求二面角的平面角于是，， 即得所求二面角的大小为 方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。 （Ⅰ）证明：不妨设，则，， 由，得，又，因而与平面内两条相交直线都垂直。 ∴平面 （Ⅱ）解：设为中点，则 由，得，又因此，是所求二面角的平面角。 ∵∴解得所求二面角的大小为 练习五 直线、平面垂直的判定与性质 选择题 1．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的 Ａ．充分非必要条件　　　　　　　　Ｂ．必要非充分条件 C．充要条件　　　　　　　　　　　 Ｄ．既非充分又非必要条件 2．设直线与平面相交但不垂直，则A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B．过直线有且只有一个平面与平面垂直 C．与直线垂直的直线不可能与平面平行 D．与直线平行的平面不可能与平面垂直 B. C. D. 4．已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 A． B． C． D． 5．已知直线m，n和平面满足,则 或 或 6．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C