常见难题大盘点：立体几何.doc

2013高考数学常见难题大盘点：立体几何 1.如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1； 解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； （II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴ DE//AC1，∵ DE平面CDB1，AC1平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1； 解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0） （1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴?＝0，∴AC⊥BC1. （2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1. 点评：2．平行问题的转化： 面面平行线面平行线线平行； 主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理． 2.如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。 解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直， 二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力. 答案：（1）是的中点，取PD的中点，则[来源:Z*xx*k.Com] ，又 四边形为平行四边形 ∥， ∥ （4分） （2）以为原点，以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，， 在平面内设，，， 由 由 [来源:Z*xx*k.Com] 是的中点，此时 （8分） （3）设直线与平面所成的角为 ，，设为 故直线与平面所成角的正弦为 （12分） 解法二： （1）是的中点，取PD的中点，则 ，又 四边形为平行四边形 ∥， ∥ （4分） （2）由（1）知为平行四边形 ，又 同理， 为矩形 ∥，，又 作故 交于，在矩形内，， ， 为的中点 当点为的中点时， （8分） （3）由（2）知为点到平面的距离，为直线与平面所成的角，设为， 直线与平面所成的角的正弦值为 点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来 3.如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点. (Ⅰ)求与底面所成角的大小；[来源:学科网ZXXK] (Ⅱ)求证：平面； (Ⅲ)求二面角的余弦值. 解析：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法 求二面角的大小也可应用面积射影法，比较好的方法是向量法 答案：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O． 连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角． ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=． ∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°． ……6分 (II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． 建立空间直角坐标系如图，则, ． 由M为PB中点，∴． ∴． ∴， ． ∴PA⊥DM，PA⊥DC． ∴PA⊥平面DMC． ……4分 (III)．令平面BMC的法向量， 则，从而x+z=0； ……①, ，从而． ……② 由①、②，取x=?1，则． ∴可取． 由(II)知平面CDM的法向量可取， ∴． ∴所求二面角的余弦值为－． ……6分 法二：（Ⅰ）方法同上