挑战2014数学中考压轴题：因动点产生的等腰三角形问题（含2013试题，含详解）.doc

因动点产生的等腰三角形问题[w#ww.zzste^p.co@m~] 例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题[来源^:*中教%网~] 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长； （2）若BP＝2，求CQ的长； （3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长． 图1 备用图[来源~:中%@教#网] 动感体验 请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况． 请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况． 思路点拨 1．第（2）题BP＝2分两种情况．[中#国~教育@*出%版网] 2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．[中国教育出*^@版网%] 满分解答 （1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10． 在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．[来源~%:zzs#t*ep.com][w~^%ww#.zz*] 因此△PDM∽△QDN． 所以．所以，． [来~源^:中国%教育*出版网] 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． 此时．所以． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5． 此时．所以． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，． 在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．[来^@源:zzstep.com#%] 因此△PDF∽△CDQ． 当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形． ①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）． 此时．所以．[来@源#:^中国教育出版~网]，可得． 所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）． 此时．所以． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6 图5 图6 考点伸展 如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解． [ww#w.zzs*~@^] [来源:zzs#tep%@.*com] [来源:学|科|网Z|X|X|K] [来^@源:zz#step%.com] [中国~@*教#育出版网] 例2 2012年扬州市中考第27题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．[来源^:中~#教网*] 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． 由，BO＝CO，得PH＝