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初中数学中关于合情推理与逻辑推理的教学(上) 南开大学 顾沛 在《数学教育学报》2012年第1期上发表文章《数学基础教育的‘双基’如何发展为‘四基’》。 在《基础教育课程》2012年第7期上发表文章《义务教育阶段的数学教学如何渗透数学思想》。 在《小学教学》(数学)2012年第7-8期合刊上发表文章《小学数学教学也要渗透数学思想》。 在《小学数学教育》2013年第3期上发表文章《小学数学新教材的主要变化和使用建议》。 在《人民教育》2014年第1期上发表文章《从一线教师的角度解读数学新课标》。 我与基础教育的关系 一、主要的观点 二、说明观点的例子 (一) 合情推理、逻辑推理的重要性(二) 合情推理、逻辑推理的概念(三) 合情推理、逻辑推理的关系(四) 合情推理、逻辑推理的教学要点及对教师的要求(五) 合情推理、逻辑推理之间的桥梁(六) 统计学科中的推理主要是合情推理 一、主要的观点 推理是人们思维活动的一种过程,是根据一个或几个已知的命题来推断、确定一个新的命题的思维过程。 数学离不开推理。 推理有两种类型——合情推理和逻辑推理。 (一)合情推理、逻辑推理的重要性 《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出了10个核心概念,“推理能力”就是其中之一。 数学推理的思想,还是数学的基本思想之一。 数学教学不仅要教知识,更要教思维、教推理 数学教学应该同时重视学生合情推理和逻辑推理能力的提高。 逻辑推理是从事实和命题出发,严格符合逻辑法则的推理方式;主要指按照“大前提-小前提-结论”这种“三段论”的推理形式,也称演绎推理;反证法是利用“排中律”的推理形式, 也是逻辑推理;“穷举法”、“数学归纳法”(完全归纳)也是逻辑推理;“举反例”也是逻辑推理。 在前提正确,逻辑也正确的情况下,逻辑推理的结论一定正确。 (二)合情推理、逻辑推理的概念 合情推理是从事实和命题出发,合乎情理(经验、直觉等)的推理方式;主要指通过观察、实验、比较、分析等方法,进行联想、类比、归纳、猜测、顿悟等得到新命题的推理形式。 (不完全)归纳和类比是常用的合情推理。 合情推理的结论可能正确,也可能不正确,还要依靠逻辑推理去证明或者证否。 合情推理的概念 演绎推理是从一般到特殊的推理; 归纳推理是从特殊到一般的推理; 类比推理是从特殊到特殊的推理。 (分式类比分数;赵本山台词) 《标准(实验稿)》要求学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。” 第一次把合情推理与演绎推理相提并论;但并没有给出合情推理的定义。 《标准(2011年版)》对合情推理、演绎推理均给出定义,表述得更加具体了;对演绎推理要求的表述删去了“初步”二字,提高了要求。 具体表述如下: 推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发,按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中,两种推理功能不同,相辅相成:合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论。 《标准(2011年版)》表述“推理能力”: 合情推理常常是发现新结论的手段 所以,合情推理的教学,有利于培养学生的创新意识和创新思维。(培养创新人才) 关于“火热的思考与冰冷的美丽”。 波利亚(提出该词):“让我们教猜想吧!” (三)合情推理、逻辑推理的关系 合情推理发现的新结论要靠逻辑推理去证明 合情推理发现的新结论,可能是正确的,也可能是错误的;还要靠逻辑推理去证明,或者证否。 合情推理是或然性推理,逻辑推理是必然性推理。 逻辑推理才是数学科学的“不二法则”,数学学科的大厦,最终是按照逻辑推理建造的,数学学科的一切结论都必须用逻辑推理给出证明。 所以,通俗地说,逻辑推理才是数学科学最终的“游戏规则”。正是由于数学推理的严谨、数学结论的确定无疑,才使数学有效、有用,被普遍重视。 所以,合情推理与逻辑推理是相辅相成的。 现在提倡的“探究式教学”,如果组织得当,就有利于做到这一点:探究的前半段主要是合情推理,探究的后半段主要是逻辑推理;二者相辅相成,最终是依赖逻辑推理。 在小学数学的教学中,合情推理较多,但是教师的措词要恰当,不要让学生误以为“这就足以证明了”,例如,在依靠合情推理得到命题后可以说“今后我们还会严格证明它”;初中学段起,数学教学则
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