6球面多边形与欧拉公式.pptx

球面多边形与欧拉公式???????我们知道，在平面上，n(n≥3)条 首尾相接且互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边形。类似地，如图6-1中 ，在球面上有n个点： , , …. , 任意三点不在同一个大圆上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺次相接劣弧 ， ，…. ?如果这些劣弧互不相交，那么就把这些劣弧组成的封闭图形球面n边形，记为球面n边形 ， ，…. 。点 , , …. , 称为球面n边形的顶点， ∠ , ∠ , …., 称为球面n边形的内角?类似平面凸多边形 ，如果球面n边形 ， ，…. 总在它的每一条边所在大圆的半个球面内，那么这个球面多边形称为球面凸多边形，在平面几何中 ，我们知道平面多边形的内角和为（n –2）π 。单位球面三角形△ABC的面积S’ =（A +B +C –π） ，因此得到球面三角形的内角和为 S’ +π 。?球面多边形内角和公式 + +…+ =（n-2）π +S?设 单位球面上 的n(n≥3) 边形 …. 的n个内角分别为∠ ∠ …. ∠ ，其弧度数分别为 ， S为这个球面n边形的面积，则 + +…+ =（n-2）π +S二简单多面体的欧拉公式多面体是由若干个平面多边形围成的封闭几何体，如果一个多面体在它的每一个面所在的平面的同一侧，那么这个多面体称为凸多面体。如果把多面体想象成由橡皮膜组成的，对这个橡皮膜充气，如果能变成一个球面，就把这样的 多面体叫做简单多面体。如果用 V表示简单多面体的顶点数，E表示简单多面体的棱数F表示简单多面体的面数，通过计算得出：V-E+F=2 这个结论称为简单多面体欧拉公式从橡皮变换角度看，简单多面体与球等价，简单多面体的表面与球面等价，这时，我们大胆想象，橡皮膜变成球面后，组成简单多面体的各条边可以与球面多边形建立一定联系。如果用 V表示简单多面体的顶点数，E表示简单多面体的棱数F表示简单多面体的面数，通过计算得出：V-E+F=2 证明：我们设想简单多面体g的表面是由橡皮膜围成的，所以它是可以任意变形的，即它的各棱可以任意伸长、缩短或弯曲。我们在这个橡皮膜的简单多面体g中吹入足够的空气使它变成一个单位球面k,在变形过程中，保持橡皮膜不被吹破这样，简单多面体g的一个顶点就变成单位球面k上的一个点 g的一条棱就变成k上的一段曲线，此时g的各边就变成k上的一个“网络”此时在调整“网络”,使其上的每一条曲线都变成 k上的一段大圆弧，这样你把简单多面体g变成整个球面k?且g的一个面变成k上的多边形，这时，g的顶点数、棱数、面数与k上的顶点数、棱数、面数完全相同。我们把简单多面体g转化为成了单位球k上的“网络”现在，只需要研究k上的顶点数、棱数、面数关系就可以了。把g的各个面编号：1,2，…F，g的第1个面变成k上的第一个球面多边形，设此球面多边形有条边，它的个内角的弧度数分别为 +… ，其面积为 ,由球面多边形的内角和公式有 +… = π -2π + (1)同理g的第二个面变成k上的第2个球面多边形，设此球面多边形有条边，它的个内 角的弧度数分别为 +… 其面积为 . 由球面多边形内角和公式有 +… = π -2π + （2）? g的第F个面变成k上的第F个球面多边形，设此球面多边形有条边，它的个内角的弧度数分别为 +… ，其面积为,由球面多边形的内角和公式有 +… = π -2π + （F)我们将F个式子相加，左边就是球面上F个多边形的内角和，也就是围绕每个球面多边形顶点球面多边形内角和 ，而每个顶点处球面多边形的 内角和为2π；由于球面上“网络”的“顶点”数与g的顶点数相同，均为V故这F个式子相加后 左边 =2πV其中S表示球面的面积（F个球面多边形覆盖整个球面，其面积和为球面的面积）S= =4π 。 我们注意到 表示球面上F个球面多边形总数的2倍，这是因为，在这个总和中，每一个球面多边形的每一条边都被计算了2次（每一条边恰为某两个球面多边形的公共边）所以 = 2E ，E为简单多面体的棱数因此2πV = 2πE -2πF +4π即V –E +F =2 FΣ??另一面 右边 = -2π + + -2π + +….. + -2π + = -2πF + = - 2π + SI =1