《4弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式.ppt

* * 有限单元法II ——2005级硕士生课程 同济大学土木学院桥梁工程系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第五章 弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式 本章中，我们将通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限单元法的表达格式。最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量、并基于最小位能原理建立的有限单元。 我们将于平面问题3结点三角形单元为重点，对建立有限元求解方程的原理和步骤进行讨论，并进而引出广义坐标有限单元法的一般格式。 对于除了3结点三角形而外的单元，如何通过广义坐标导出单元的插值函数也进行讨论，特别是引入了自然坐标（对于三角形单元和四面体单元分别是面积坐标和体积坐标）的概念，这对今后研究和建立各类形式的单元是非常有用的。 作为一种数值方法，有限元解的收敛性和精度估计无疑是一个十分重要的问题，本章也简要讨论解的收敛准则和精度估计。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 5.1 平面问题3结点三角形单元的有限元格式 由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力，因此很容易将一个二维域离散成有限个三角形单元，如下图所示。 5.1.1 单元位移模式及插值函数 典型的3结点三角形单元结点编码为i、j、m，以逆时针方向编码为正向。每个结点有2个位移分量，如上图右所示，因此每个单元有6个结点位移即6个结点自由度。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （1）单元位移模式及插值函数 在有限单元法中单元的位移模式一般采用多项式作为近视函数，因此多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取由低次到高次。 3结点三角形单元位移模式选取一次多项式： 单元内的位移是坐标x，y的线性函数。β1～β6是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。把上式代入代入单元3个结点i、j、m在x方向的位移ui，可得： （5－1） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解（5－1）式可以得到广义坐标由结点位移表示的表达式。 系数行列式是： A是三角形单元的面积 解的广义坐标β1～β3为： （a） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. （b） 在式（a）和式（b）中： 上式中的单元面积A可通过系数行列式D求得： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 其中： （5－2） 把（5－2）式写成矩阵形式有： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 插值函数具有如下性质： （1）在结点上插值函数的值有： （2）在单元中任一点各插值函数之和应等一1，即： 因为若单元发生刚体位移，如x方向有刚体位移u0，则单元内（包括结点上到处应有位移u0，即ui＝uj＝um＝u0，又由（5－2）式有：） （3）对于现在的单元，插值函数是线性的，在单元内部及单元的边界上位移也是线性的，可由结点上的位移值唯一地确定。由于相邻单元公共结点的结点位移是相等的，因此保证了相邻单元在公共边界上位移的连续性。 Evaluation only. Created wit