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第七章 分布的参数估计 本章内容简介: 总体特征(如均值与方差) ↓困难:无法得到全部总体(第二章) 从总体中抽取一部分样本(样本容量:大样本 ) ↓(大数定理与中心极限定理) 计算样本的特征(抽样分布、样本统计量) ↓ 推断总体特征(方法:点估计与区间估计) 参数估计在统计方法中的地位 统计推断的过程 7.1 参数估计基本概念 估计量:用于估计总体参数的随机变量 如样本均值,样本比例、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值? 的一个估计量 参数用? 表示,估计量用 表示 估计值:估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 ?x =80,则80就是?的估计值 估计方法:点估计与区间估计 评价估计量的标准 无偏性:估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 有效性:对同一总体参数的两个无偏点估计量,有更小标准差的估计量更有效 一致性:随着样本容量的增大,估计量的值越来越接近被估计的总体参数 无偏性(unbiasedness) 无偏性:估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数 有效性(efficiency) 一致性(consistency) 一致性:随着样本容量的增大,估计量的值越来越接近被估计的总体参数 7.2 点估计 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 例如:用样本均值直接作为总体均值的估计 例如:用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 点估计的方法: 矩估计法(重点) 最大似然法 顺序统计量法 最小二乘法等 矩估计方法:一个例子 例:圣安德鲁大学每年接受900份入学申请,申请表含学生学术能力测试成绩、学生是否希望学校提供住宿等信息。招生主管希望知道申请学生学术能力测试的平均成绩及希望由学校提供住宿的学生的比例。 本例中,我们有两种方法可以得到相关信息:对900名申请者作普查;用随机数表选取容量为30的随机样本。 对总体研究可以得到以下总体参数: 抽样而得的样本数据 Random No. Number Applicant SAT Score On-Campus 1 744 Connie Reyman 1025 Yes 2 436 William Fox 950 Yes 3 865 Fabian Avante 1090 No 4 790 Eric Paxton 1120 Yes 5 835 Winona Wheeler 1015 No . . . . . 30 685 Kevin Cossack 965 No 点估计 作为 ?的点估计 s 作为 ?的点估计 作为 p的点估计 点估计方法缺点:没有给出估计值接近总体参数程度的信息 7.3 区间估计基本概念 在点估计的基础上,给出总体参数估计的一个区间范围,该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 比如,某班级平均分数在75~85之间,置信水平是95% 置信水平 将构造置信区间的步骤重复很多次,置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为 (1 - ???? ??为是总体参数未在区间内的比例? 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 ??为0.01,0.05,0.10 置信区间 (confidence interval) 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数,所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间,我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个,但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个 7.4 一个总体参数的区间估计 总体均值的区间估计(大样本) 1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差(?2) 已知 大样本(n ? 30) 使用正态分布统计量Z 总体均值的区间估计:已知正态分布 续 总体均值的区间估计:大样本 总体均值的区间估计(例题分析) 总体均值的区间
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