《固体力学的发展.ppt

固体力学的发展 太宗谓萧瑀曰：“朕少好弓矢，自谓能尽其妙。近得良弓十数，以示弓工，乃曰：非良材也。朕问其故。工曰：木心不正，脉理皆邪，弓虽刚劲而遗箭不直，非良弓也。 朕始悟焉。朕以弧矢定四方，使弓多矣。有天下之日，浅得为治之意，故未及于弓。弓犹失之，何况于治乎！？” 百官志[1] [1] 转引自《渊鉴类函》，北京中国书店，1986年，卷225，第6页 固体力学的发展是从弹性力学开始的，早期的研究是对于工程中常见的梁或杆件的变形规律的研究。到了19世纪初，从纳维与柯西开始，人们才从一般观点来研究弹性体的变形。推动人们研究这类问题的动力来自两方面，一方面是工程的推动，建设桥梁道路、造船、军械制造，迫切需要了解固体的变形与破坏的机理；另一方面是对于光波传播机理的探讨要求了解弹性波的传播理论。 §1 弹性线的研究 1．1 欧拉关于弹性线的理论 1．2 基尔霍夫的研究结果 1．1 欧拉关于弹性线的理论 在第三章，我们曾经介绍过伽利略与伯努利关于梁的研究，他们的主要兴趣在于讨论梁的强度。欧拉与他们不同，对弹性线的兴趣主要在于研究变形，欧拉不是像前人一样从工程应用的角度探讨，而是从数学家的兴趣出发研究。他利用了伯努利的结果：在每一点，杆轴的挠曲率与这一点弯矩成正比例。不过他的推导并不与伯努利相同，他采用了变分法。他在1744年的论文《曲线的变分法》中得到的结论是：“如果这根板条是等截面和富于弹性的，而且在自然状态下是伸直的，那么挠曲线必然可以由使积分 取极小来得到。” 欧拉利用这一原理并且采用变分法推导出受横向力的悬臂杆挠度y满足的方程是 式中C为常数，P为悬臂杆端的横向力，为杆长。在考虑挠度很小时， 可以略去，这时欧拉可以将这个方程积分并且给出 此处f为悬臂端的挠度，若与2 相比舍弃3f，则可得。 欧拉对C没有讨论，只是说：“它与材料有关，在矩形截面的条件下，与宽度成正比与高的平方成正比。”这里欧拉关于C与高的平方成正比的结论是不对的。他建议根据上面的公式由实验来定C。在欧拉之前，伯努利（1654－1705）在1705年也讨论过常数C，他的结论是 m为常数，也是不正确的，但与高的三次方成比例是正确的。所以现今认为梁的理论是伯努利首先建立的。 直到1826年纳维（Navier）在他的《材料力学》中才解决了这个问题，将挠曲线方程定为 , I为截面的转动惯量，为挠曲线的曲率半径。 欧拉讨论了当P作用与梁轴呈一角度的情形。但角度极小时得到了 他说：“除非 ，绝不用担心弯曲会发生，反之，若P大于此值则柱子就不能抵抗弯曲。”这就是由欧拉引入的临界载荷的概念。现今也称为欧拉载荷。 1757年，欧拉出版了《关于柱的承载力》，详细讨论了这一问题，并用简化方程 来求解这一问题。 欧拉还讨论了大变形问题，变截面梁的问题和具有初始曲率杆的问题等。 拉格朗日也研究过杆的轴压问题，他对于弹性杆研究的结果记载在他的报告《柱的形状》中。他由方程 出发，在铰支的端部条件下解得临界载荷为 。 他还研究了超过临界载荷时所发生的挠曲，他利用级数积分得到 当f=0时，可得临界载荷的公式，当f很小时，级数收敛很快，相应的挠度是很容易计算出来的。 1．2 基尔霍夫的研究结果 基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff,1824，3，12－1887，10，17）是德国一位律师的儿子，大约是在欧拉之后100年的人物。1842年他进入哥尼斯堡大学，他曾听过牛曼（L. Neumann）的课并被后者发现其卓越才能，推荐为最有希望的科学家。1848年获博士学位，1854年在海德堡大学执教。他的主要成就在物理学方面，他第一个证明电脉冲是以光速传播的，最早发现光谱与化学元素的关系，最早提出理想黑体并进行了黑体辐射的实验被后人认为对量子力学产生有很大的影响。 基尔霍夫在固体力学中最重要的贡献是提出了精确的板的理论。他在弹性杆方面发展了欧拉的工作。他导出了大挠度杆的一般平衡方程。他说：“当力作用在杆端时，这些方程与刚体绕固定点运动的方程相同。”这个看法是基于在变形后杆的每一点，由单位切向量、法向量、次法线所组成的单位三面体，沿曲线弧上运动时，也产生如同刚体绕固定点运动的转动。所以他得到的方程为 其中A，B为截面的两个主弯曲刚度，C为扭转刚度，p,q为曲率沿主方向上的投影，r为挠率。 杆上的切力， 为分布力矩。 这就是所谓基尔霍夫动力学比拟。最简单的一个情形便是单摆与受压杆