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优化设计的理论基础 1.泰勒表达式 一元函数 在 点的某领域具有任意阶导数，则 在 点的泰勒展开式为 对多元函数 来说,在 点的泰勒展开式为： 其中： 为函数 在点 处的梯度。 称为函数 在 点处的Hesse矩阵。 2.二次型与正定矩阵 将二次齐次函数 （函数中只含变量的二次项）表示为： 式中 若任何一非零向量X，都能使得二次型 则称该二次型为正定二次函数，矩阵A为正定矩阵。 判定矩阵为正定矩阵的方法为： 矩阵的行列式 的各阶顺序主子式都大于零。 3 函数的等值面或等值线 在设计空间里，具有相同目标函数值的点的集合形成一个曲面或曲线，成为目标函数的等值面或线。 4.凸集与凸函数 凸集的描述：设D是n维欧式空间中设计点的一个集合，若其中任意两个点x1，x2所连成的线段都包含在该集合中，则这个集合为凸集。 凸函数： 设D是n维欧式空间中的一个凸集，f(x)为定义在D上的函数，若对任何实数 和D上的两点X1,X2有 则称f(x)定义为凸集D上的一个凸函数。 凸函数的性质 5.无约束优化问题的极值条件 对于n维优化设计， 的无约束极值问题： 点 为一个局部极值点的充要条件是： （1）一阶导数向量 （2）二阶导数矩阵为正定或负定矩阵。 为正定或负定。 6.约束函数性质及适时约束 对有约束的优化设计问题来说，约束条件把设计空间分割成两个区域，可行域D和非可行域，其中D就是满足所有约束条件的集合。 适时约束 如果可行设计点 落在代表一个不等式约束 的约束边界上，即 使得该约束 ，则称这个 约束为点 的一个适时约束（起作用约束）。该点叫做 边界点或极限设计点。 设计点在可行域内的叫内点或可行设计点。 设计点落在可行域以外的叫外点。 每一个等式约束都是适时约束。 7.约束优化问题的极值条件 库恩-塔克条件 若 是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度 可以表示成诸约束面梯度 和 的线性组合的负值。 式中： q——在设计点 处的不等式约束面数； j——在设计点 处的等式约束面数； ， 为非负值的乘子，也称为拉格朗日乘子。 在点 处不是适时约束的 对应的 一定为0， 只有当 为适时约束时 才可以不为零。 8.优化问题的数学迭代法 数值迭代公式： a为第k步迭代的步长，s为第k次迭代计算的有哪些信誉好的足球投注网站方向。 迭代终止准则 1.点距准则 2.函数值下降准则 3.梯度准则 * * Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.