《球面几何学.ppt

中学平面几何问题概述（总结） *证明的一般思路 试误式思路： 直接式：分析法、综合法 间接式：反证法、同一法 顿悟式思路： *证明的特殊思路 面积法、向量法、复数法 （会用以上方法证题） *几何轨迹与尺规作图 1.区别轨迹和图形 2.会用两面性证明轨迹命题 3.会按步骤解作图题（写出已知、求作，进行分析，写出作法，证明，讨论） *中小学平面几何教学综述 1.中小学数学课程中平面几何部分的内容要求 2.中学平面几何典型例题（数学知识类、课题 学习类、信息技术应用类、实验与探究类、数学 活动类） 3.中学数学平面几何考点分析 练习： （1）正方体的全面积是a,它的顶点都在球 面上，这个球的表面积是（ ）。 （2）球的半径为R，则它的外切正方体的 棱长为（ ），内接正方体的棱长为（ ）。 第九章 球面几何学 设想：在地球面上，从一个城市飞往另一个 城市，如何飞行距离最短？ ——球面上的几何学——一种新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型 研究方法：类比的思想方法（？） 空间想象能力、几何直观能力 球面是空间中最完美匀称的曲面—— 两个半径相等的球面可以用平移叠合起来； 两个半径不相等的球面相差的就是放大缩小 的相似变换； 所以本质性的球面几何可以归纳到单位半径 的球面来讨论。 第一节 平面与球面、直线与球面的位置关系 一、平面与球的位置关系： 类比直线与圆的位置关系，来探究平面与球的位置关系。 相交、相离、相切 结论： 一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面。 用一个平面截一个球，截面是圆面。请同学们思考什么时候是小圆，什么时候是大圆？ 二、直线与球面的位置关系： 同样，类比直线与圆的位置关系，来探究直线与球的位置关系。 结论： 把球心O到直线L的距离记为OH， 当OHR时，相离，直线与球没有公共点； 当OH=R时，相切，直线与球只有一个公共点； 当OHR时，相切，直线与球有两个公共点。 三、球幂定理 经线：以南极和北极为端点的半大圆 纬线 第二节 球面上的一些基本图形 1、大圆：过球心的平面在球面上的截线（直线） 小圆：不过球心的平面在球面上的截线。 2、优弧、劣弧：过球面上两点一定可以作一 个大圆。（球面上两点间的距离即劣弧长） 球面上连接两点的最短路径是经过这两点的 一段大圆弧——劣弧。 思考题： 3、球面角：记作（类比平面中的角）如何度量球面角？——两平面构成的二面角。 4、球面二角形：也叫月形，是球面上两个有公共直径的半大圆所夹的部分。 思考：球面二角形的面积？ 球面可以看成是球面角为 的月形。 5、球面三角形 （类比平面三角形） 不在同一条直线的三点——不在同一大圆上的三点 边、顶点、内角 球面几何学中最简单、最重要的图形 三面角：如何度量内角和边长？ 6、对顶三角形 对径点：球的直径的两个端点。 7、球极三角形 极点、赤道圆 性质1： 性质2： 第三节 球面三角形 一、球面三角形三边之间的关系 类比平面三角形的三边关系 三、球面三角形的周长 问 题 平面三角形内角和为π； 球面三角形内角和是多少？ 球面三角形的内角和是定值吗？ 探究单位球面三角形的内角和公式 归纳出单位球面三角形的内角和公式 分析 第三节 球面三角形的全等 类比平面三角形的全等—— 规定：两个球面三角形全等是指两个图形完 全相等，即球面三角形的六个元素：三条边、 三个角分别相等。 （只能在同一球面上或半径相等的球面上讨论） 1、“边边边”判定定理证明： 2、“边角边”判定定理 3、“角边角”判定定理 自己证明 4、“角角角”判定定理 第四节 球面三角形的边角关系 如何用向量的向量积证明球面上的余弦定理？ 从球面上的正弦定理看球面和平面 球面上余弦定理的应用——求地球上两城市间的距离 球面上的几何学——一种新的几何学 ——一个与欧式平面几何不同的几何模型 研究方法：类比的思想方法 为什么平面和球面上有些不同的性质呢？ 追溯根源—— 在平面上，过直线外一点，有且只有一条 直线与该直线不相交； 在球面上，大圆可视为“直线”，任意两条 “直线”（大圆）都相交，即过“直线”外一点， 没有一条“直线”与该“直线”不相交。 于是，在球面上