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分析力学作业讲解 第一章 低速宏观运动的基本原理 包括1 2 3 4 9 10 11 12题 分析力学作业讲解  第二章 守恒律 杜佳欣 dujx@ /~dujx/ .7.8 分析力学作业讲解（三） 第三章 有心力场中的运动 质量为 半径为 的半球形碗，放在光滑的水平桌面上，如图1 。有一个质量为 的滑块沿碗的内壁无摩擦的滑下。用 表示滑块位置与球心连线和竖直方向的夹角。这个系统起始时静止且 。求滑块滑到 时 的值。 解：由于系统在水平方向不受力，所以系统在水平方向上的动量守恒： 在有能量守恒得到 式中的 和 为滑块和半球形碗相对于地面的速度。而 代入可得 由第一式得 ，代入第二式得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 化解可得 即： 当 时 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 3.质量为 的质点在三维空间中运动，势能是 证明之一质点由 区域经过分界面进入 区域的运动轨迹等同于光线从空气入射到折射率为 的介质所受到的折射。 其中， 是质点在 区域中的动能。 解：系统具有xy平面内的平移对称性，所以动量的x，y分量守恒： 又系统的能量守恒，则有 那么，则有 即： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 而散射前后动量与z轴的夹角之比为 即满足折射定律。 4.求半径为 ，圆心角为2θ的均匀扇形薄片的质心。 解：设均匀薄片的定点在原点，取对称轴为y轴，则其重心一定在y轴上 那么质心的y坐标为 所以扇形的质心在其角平分线距圆心2asinθ/(3θ)处。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 7.写出角动量的笛卡尔分量 和它的平方 用球坐标 表示的表达式。 解：由 带入得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 8.在下列场中运动的系统，动量P的什么分量守恒？角动量的什么分量守恒？ (a)．无穷大均匀平面所产生的场； (b) ．无穷长均匀柱所产生的场； (c) ．两个电源所产生的场； (d) ．均匀圆环所产生的场； (e) ．均匀圆球所产生的场。 解：根据空间的平移对称性导致动量守恒，空间的转动对称性导致角动量守恒可知： (a)．无穷大均匀平面所产生的场：P沿平面方向的任意分量，L的垂直平面方向的分量 (b) ．无穷长均匀柱所产生的场：P沿柱方向的分量，L的沿柱方向的分量 (c) ．两个电源所产生的场：L沿两个电源连线方向的分量 (d) ．均匀圆环所产生的场：L沿垂直圆环方向的分量 (e) ．均匀圆球所产生的场：L守恒 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1、质点受到的有心力为： 解：由比莱公式 其中 ，A为积分常数。 将F带入可得： 其中 ，试证明其轨