《第01章矢量分析和场论基础.ppt

1.5.2标量场的梯度和方向导数 标量场u(x, y, z)的两个等值面u和u+du如图1-23所示， 图1-23 方向导数和梯度 P点到Q点的位移元为 (1-65)两边同除以 dl ，得到标量场u(x, y, z)在P点沿dl 方向的方向导数 1.梯度的定义及其方向导数 根据全微分定义 (1-65) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 设位移元 dl 的方向余弦为{ }，即 所以方向导数表示为 其中 ——u的梯度 ——dl的单位矢量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引入梯度算子 由 u的梯度表示为 可知 当al与G平行时，方向导数 取得最大值|G|。 梯度的方向是标量u随空间坐标变化最快的方向；梯度的大小表示标量u的空间变化率的最大值。 梯度矢量 的的物理意义 所以 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 梯度在柱坐标系下的表达式 梯度在球坐标系下的表达式 2.梯度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 梯度在直角坐标系下的表达式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 梯度运算的基本公式： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1.6 求标量函数u(x, y, z)=x2yz的梯度，并求在空间坐标点P(2, 3, 1)处，沿方向 的方向导数。 解 代入P点的空间坐标 (2,3,1)，得方向导数值为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 补充例题： 其中， 2） 求：1） 解： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1.5.3矢量场的通量和散度 1.通量的定义 图1-24 通量定义 如图，矢量场A=A(x, y, z)在有向曲面S上的通量定义为 面元dS的法向n与张着S的环线L满足右手螺旋关系。 在直角坐标系中 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 对闭合曲面n取外法向为正，总通量表示为 矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观描述，要描述每一点的情况，需引入散度的概念。 通量计算存在三种情况 1)Φ0，表明闭合曲面内部有产生矢量线的源，正源 2)Φ0，表明闭合曲面内部有吸收矢量线的源，负源 3)Φ=0，表明闭合曲面内部可能无源，或正源负源相等 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2.散度的定义 散度是单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度，记为divA或 ，即 图1-25 散度的定义 如果divA0，表明M点有发出矢量线的正源； 如果divA0，表明M点有吸收矢量线的负源； 如果divA=