《第10章特征值与特征向量的计算.ppt

10.4 特征值与特征向量的MATLAB函数求解 MATLAB提供的eig()函数可以很方便地用来求解矩阵特征值与特征向量问题，该函数的调用格式为： [V,D] = eig(A) [V,D] = eig(A,nobalance) [V,D] = eig(A,B) [V,D] = eig(A,B,flag) 其中，V是特征向量组成的矩阵（其每一列对应矩阵A的一个特征值），D是由特征值构成的对角矩阵。Nobalance表示直接求解矩阵A的特征值和特征向量，没有这个参数的时候会先对A进行相似变换，然后求矩阵A的特征值和特征向量。当表达式中含有参数B时，函数eig()计算广义特征向量矩阵V和广义特征值矩阵D，满足AV=BVD。参数flag用来指定算法计算特征值D和特征向量V，flag的值为chol表示对B使用cholesky分解算法，这里A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵；flag的值为qz表示使用QZ算法，这里A和B为非对称或非Hermitian矩阵。 另外，针对稀疏矩阵，MATLAB还提供了eigs()函数来求解矩阵的特征值和特征向量，该函数的调用格式为： [V,D] = eigs(A,k) 其中k表示返回前k个最大的特征值，其默认值为6。其余参数的含义同于eig()函数。 * * 第10章 矩阵特征值与特征向量的计算 10.1 幂法及反幂法 10.2 Jacobi方法 10.3 QR方法 10.4 特征值与特征向量的MATLAB函数求解 10.5 实例解析 本章目标：计算矩阵的特征值及对应的特征向量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、幂法 条件：A 有特征根 |?1| |?2| ? … ? |?n| ? 0，对应n个线性无关的特征向量 … … … | ?i / ?1 | 1 当k 充分大时，有 这是A关于?1的近似 特征向量 思路：从任意 出发，要求 10.1 幂法及反幂法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ? 规范化 为避免大数出现，需将迭代向量规范化，即每一步先保证 ，再代入下一步迭代。一般用 。 记： 则有： 一般地,不妨设： A 为实方阵, 有特征值 |?1| ? |?2| ? … ? |?n| , 对应n个线性无关的特征向量 当|?1| = |?2|时, 需分情况加以讨论: (1) ?1= ?2; (2) ?1= -?2; (3) ?1 ,?2为共轭复数; ? 算法的一般化——实际计算中的幂法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1° ?1= -?2; |?1| |?3| ? … ? |?n| 从任意 出发， 不妨假定 当k 充分大时, 有: 同号 同号 所以 可以证明，对应于?1的A的特征向量为： 事实上， 类似地，对应于?2的A的特征向量为： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2° |?1| =|?2| |?3| ? … ? |?n| 此时,?1 和?2有可能是共轭复数 (也可能?1=?2, 也可能是情况1°?1 =-?2) ; |?1||?3|. 不妨假设 当k 充分大时, 有: Q:如何找到表示?1(?2)的较好的关系呢? 消元? 降次? 不难验证: 间近似地成立下述线性关系 为求得?1 和?2,可任取两组分量,并解下列方程组得p, q: 其余分量是否也满足关系式? 若满足 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyr