《第10讲近代科学革命牛顿.ppt

第十讲 近代科学革命 牛顿 微积分 微积分是微分和积分的合称。 微分：求变化率（斜率、瞬时速度） 积分：求积（曲线长、面积、体积） 跟乘法和除法一样，微分和积分两之间互为反运算。所以合起来一起研究，称之为微积分 而微积分的问题，尤其求积分的问题，自古希腊以来就一直吸引着数学家们的兴趣 积分：阿基米德求圆周率（穷尽法） 由圆的内接正六边形出发，先算其周长，做为圆周长的一个近似值，然后再由此周长计算内接正十二边形的周长，作为圆周长更精确的近似值，如此边数逐次倍增，则所得周长仍小于圆周长，却越来越接近圆周长 同时阿基米德用外切正多边形从外面逼近圆周长 一般而言，如果正n边形和正2n边形Sn和S2n之间有代数关系 ，只要知道Sn，则可知S2n 当内接及外切正多边形的边数为96时，阿基米德得到了他的圆周估计值 17世纪新问题 穷尽法 动态无穷法 卡瓦列利：不可分量原理（无穷小） 设三角形ABC与三角形DEF等底等高，设BC、 EF分别是平行于BC、EF的线段。且距底边等高，则由比例可知：BC=EF 注意到BC、EF是任意的，其长度一直由BC和EF一直逼近到点A和点D。 既然三角形ABC三角形DEF分别由相等的线段BC、EF所组成，所以两三角形应该有同样的面积 卡瓦列利：不可分量原理（无穷小） 如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且被任何与这两条平行线保持等距的直线截得的线段都相等，则这两个图形的面积相等。 类似的，如果两个立体图形处于于对平行平面之间，并且被任何与这两个平行平面保持等距的平面截得的面积都相等，则这两个立体的体积相等 瞬时速度 瞬间速度就是瞬间的平均速度。但是瞬间到底是多短呢？如果瞬间没有长度，则在这瞬间内距离没有什么变化，所以 不是数，自然不能表示速度，所以此路不通。 但是如果瞬间一定要有长度，但所谓的长度如果是通常观念中的长度，那么它的一半不也是长度吗？那么瞬间怎么还能称作瞬间呢？此路也不通。 那么瞬间是到底是什么呢？ 有人想出绝招说：“瞬间的长度为无穷小” 微积分基本定理 动态无穷法虽然使得求积进了一大步，可是繁复的步骤已经求和、求极限的困难，都限制了它的应用范围。 无穷小的方法虽然好使，但是用起来又太灵活了，基本无固定的规则可言，数学家使用的时候，什么时候保留，什么时候削去，基本是靠直觉“猜”出来的。 而微积分基本定理的发现，就是说求积是求变化率的反运算，所以会求变化率就能解决很多求积的问题，而微分学有系统的发展后，求变化率的计算就变成远较求积简单的一种运算。 牛顿的贡献 假设某曲线y=f(x) 下的面积为z，z和x的关系为z=axm， 如果x增加了一点，这个可以用无穷小量o来表示，则面积增加了 oy，（由此亦易知，y值刚好就是面积在增加了这么一点的时候的变化率，y＝Δz/Δx），于是有 z+oy=a(x+o)m。 右边以二项级数展开得z+oy=a(xm+mxm-1o+含有o2的项) 消去z=axm，再去掉o，则得 y=a(mxm-1+含有o的项) 再去掉含有o的项，得y=amxm-1 面积z在任意点x的变化率， 正是曲线在x处的y值（amxm-1） 而曲线y=amxm-1下的面积是axm 牛顿提出的这种思想有两个新的内容． 通过考虑在x点处的面积的瞬时增量得出面积的表达式，而不采取过去的那种用无限小面积之和来求面积的表达式的方法．也就是说，牛顿把确定变化率作为基本的步骤，换言之，以导数作为基本概念来定义积分． 他证明了过去被看成无限小面积之和的面积能够通过一点的变化率由微分（求导数）的逆过程得到，这一事实就是我们现在所说的微积分基本定理． 但是牛顿的这种方法中有一个重要的逻辑问题：瞬间是什么？瞬间是一个无限小量，不可分的量． 牛顿的生平简介 艾萨克·牛顿生于旧历1642年12月25日（新历43年1月4日），早产、遗腹子，喜摆弄小玩具、小机械，做过风车、灯笼、日晷，性情孤僻。 12岁进中学，因寄宿在药剂师家里而学会了化学实验。 1661年，18岁的牛顿进入剑桥大学深造。导师普林卢卡斯，首任教授巴罗。在巴罗指导下牛顿阅读了开普勒的《光学》、笛卡尔的《几何学》和《哲学原理》，伽利略的《对话》，胡克的《显微图》。掌握了最前沿的数学知识和光学知识。 牛顿的生平简介 1665年初大学毕业，伦敦瘟疫，停学回家。11月，发明流数运算法（微分运算） 1666年1月，颜色理论，5月反流数运算（积分运算），同年推出平方反比例公式。 1667年回到剑桥，当选为三一学院的研究员。 1668年获硕士学位 1669年受巴罗教授推荐接任卢卡斯教席，27岁。发现太阳光并非单色光，而是多种光的合成。相信折射式望远镜必定会出现色差。 牛顿的生平简介 1671年向皇家学会提交反射式望