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第七章 统计规律性 混沌熵与信息 科学由事实构成，就像一所房子由石头构成一样。但是，事实的堆砌不是科学，正如一堆石头不是房子。 ——彭加勒 两条线索 §7.1 力学中的机械决定论 你知道牛顿、开普勒等人为什么要从事科学研究吗？ 出于对自然的好奇？ 为了拿到博士学位？ 为了养家糊口？ ——仅为了这个做不出这么大的成绩 为了全人类？ 到底为什么呢？ ——为了敬畏上帝，证明上帝创造这个 世界之完美！ 牛顿力学中只要知道力和初始条件，以 后的运动状态就全都知道了。这就是机械决 定论，即牛顿的因果性原理。例如单摆。 对力学机械决定论的第一次冲击是19世 纪末彭加勒用其卓越的才能发现在引力作用 下，太阳、地球和月亮三体问题中，三体运 动的轨道具有“无法描写的复杂性”。最有 意义的是，他的发现表面对三体以上的简单力学体系，起运动状态对初始条件显示出极其灵敏的依赖性。这种现象后来被叫做“混沌”。 §7.2 混沌 1． 对单体体系，当运动方程不再 是线行的时候，也可能出现类似的 混沌现象。 当初始θ0很大，达到π时，同 时作用一个力F，则此时小球的运动 也将具有几乎无法描写的复杂性。 2． 1961年以后，对混沌现象的研究，在气象学、生态学、化学反应、生命科学等领域都被重视起来。 梅根据物理学家的研究方法，提出了建立能抓住主要矛盾的模型方法来进行研究。 池塘中的一群金鱼，生态模型 这是一个线性迭代方程。一年后，变为 以后逐年增长，这并不符合实际。 瑞克把方程改为如下非线性模型： 加了因子 ，表示了环境的限制作用，保证 不会增加太快，且不许超过1。 3． 此方程反映的混沌现象： （1）当 ，有一个稳定的上限，如 ，当 后 ，有极值0.5833。 （2）当 是第一个“临界值”。当 ，极限值 由1个变为2个，即出现“分岔”现象， 作振荡变化。 （3）当 ， 有4个极限值。 时，又突然变为有8个极限值。 （4） 后，发生奇怪的现象 （n很大）不但上下跳，且数值几乎无规则地遍及一个很大的范围。尤其是梅发现十分灵敏地依赖于初始值 的选取。 只变动一点点， 就可突然变化很大，甚至变得不可预测。 反映 时，系统进入混沌状态。 4． 一位年轻学者钻研混沌现象，发现各个分岔临界值之间存在一个普适关系式 这位学者还猜测，流体从稳恒流动到流速增加到一定值后会突然变为湍流，本质上是一种从分岔周期倍增而进入混沌的过度。 5． 科学家又在混沌区域中分析并找到了一种“自相似”结构，叫做“分形”。 课堂欣赏——迷人的分形艺术 “分形”(fractal)，是分形几何的创始人曼德尔布罗特于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。 德尔布罗特研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。 德尔布罗特集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，你可以无限地放大她的边界。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如 “蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。 微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，德尔布罗特集合是向传统几何学的挑战。用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为“分形艺术”。 §7.3 宏观不可逆性与熵的概念 一、时间箭头与洛喜密特佯谬 1．时间是不可逆的 到19世纪，人们在日常生活中所体会到的“时间箭头”不可逆的经验在物理学中已上升为一条热力学第二定律：自然过程总是不可逆的，如热量总是自发地由高温物体传向低温物体。 宏观量温度只对处于平衡态的体系才有意义，温度乃是微观分子（原子）运动剧烈程度的一种量度。微观粒子动能的平均值直接决定气体温度T: 2．洛喜密特佯谬 洛喜密特佯谬：如何理解