OlympicMathematics007（定稿版）.doc

Olympic Mathematics 2011.4.15 初中版 Zuhai No.007 本期目录 1．各地竞赛试题2．数学竞赛专题讲座 第讲 ．数学竞赛一、填空题1. 已知，则2. 满足方程的所有实数对为3. 已知直角三角形ABC中，，CD为的角平分线，则4. 若前2011个正整数的乘积能被整除，则正整数的最大值为5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC的顶点B，C的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O的一条直线分别与边AB，AC交于点M，N，若OM=MN，则点M的坐标为 6. 如图，矩形ABCD中，AB=5，BC=8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O在线段HF上，使得四边形AEOH的面积为9，则四边形OFCG的面积是 7. 整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则8. 已知实数满足且。设是方程的两个实数根，则平面直线坐标系内两点之间的距离的最大值为 9. 如图，设ABCDE是正五边形，五角星ACEBD（阴影部分）的面积为1，设AC与BE的交点为P，BD与CE的交点为Q，则四边形APQD的面积等于10. 设是整数，，且能被9整除，则的最小值是，最大值是解答题（每题15分，共60分） 11. 已知面积为4的的边长分别为，AD是的角平分线，点是点C关于直线AD的对称点，若与相似，求的周长的最小值。 12. 将1，2，…，9这9个数字分别填入图中的9个小方格中，使得7个三位数和都能被11整除，求三位数的最大值 13. 设实数满足，且，求的最大值和最小值 14. 称具有形式的数为“好数”，其中都是整数 （1）证明：1002010都是“好数”。 （2）证明：存在正整数，使得是“好数”，而不是“好数”。 初中数学竞赛讲义 第七讲 非负数 【奥赛赛点】所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根． 非负数有如下的性质 (1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数． (2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则a1＋a2＋…＋an≥0． (3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0． 在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多． (4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数． (5)最小非负数为零，没有最大的非负数． 【解题思路与技巧】 【典型示例】 ， 解得 因x,y,z均为非负数，故， 解得10≤x≤20 而 m=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)=140-x, 所以 120≤m≤130。 例2（1993年郑州市初中数学团体赛题） 已知：x2+3|y-1|=x-, 求代数式4x2-3y+1之值。 [解] 将已知等式变形得：3|y-1|=x-=- ≥0， ∴-≤0，即|y-1|≤0，① 根据绝对值的意义|y-1|≥0 ② 由①、②得，y-1=0，∴y=1。此时，x=,∴4x2-3y+1=4-3×11+1=-1 例3 (2002年全国初中数学联赛试题) 已知：a ,b,c三数满足方程组试求方程bx2+cx-a=0的根。 +48, 故a ,b是方程 y2-8y+ c2-8+48=0 的二根 即 (y-4)2+(c-4)2=0， 于是 c=4, y=4, 即a=b=4. 方程为4x2+4x-4=0, 即x2+x-=0, 二根为x=. 例4（1994年浙江省初中数学竞赛试题） 已知a，b，c为整数，且a2 + b2 + c2 + 48＜4a + 6b + 12c， 求 的值。 a2 + b2 + c2 + 48＜4a + 6b + 12c，a，b，c为整数，为整数= =1 . 例5（1986年北京市中学生数学竞赛初二年级试题） 已知a，b，c为实数，设 证明：A，B，C中至少有一个值大于零． [证明] 由题设有A+B+C =(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3 =(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)． 因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0． 若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零． 例6 (1978年罗马尼亚中学生数学奥林匹克试题) 解方程 [解] (x-2+1)+(y-1-2+1)+(z-2-2+1) = 0, (-1)2+