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第三章 二阶条件 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第一节 二阶条件 二阶充分条件： 一阶导数 等于零，得到极值线的必要条件的欧拉方程以及横截条件。 对于极大值 对于极小值 二阶必要条件： 对于极大值 对于极小值 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 根据（2.13）式 V的二阶导数的推导： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 此时， 取极大值。 因此，可以得到二阶充分条件： 负定是 取极大值的充分条件。 正定是 取极小值的充分条件。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 类似地，可以得到二阶必要条件： 半负定是 取极大值的充分条件。 半正定是 取极小值的充分条件。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、固定端点的充分性定理 对于固定端点问题，如果被积函数 关于 是凹的，那么欧拉方程对于识别 是一个最大值是充分的。如果 关于 是凸的，那么欧拉方程对于识别 是一个最小值是充分的。 第二节 凹性/凸性条件 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 判别多元函数的凹凸性： 将弱不等号 和 变换成严格不等号 和 ， 上述定义适用于严格凹函数和严格凸函数的定义。 对于定义域中任意给定点 和另一个点 ，当且仅当 时， 为 凹函数 凸函数 其中 在 计算其值。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 固定端点的充分性定理的证明 证明：当函数 是凹的，当且仅当对于区域中任意一对分离点 和 ，我们有： 这里的 代表最小路径， 代表任意路径。 （4.4） 对（4.4）式两边积分，得： （4.5) 使用(2.16)式 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 如果函数F关于 是严格凹的，那么（4.4）和（4.5）中的弱不等式 变为强不等式 ，结果 表明 是唯一的V的最大值。 同样，一个严格凸函数F也将使 成为唯一的最小
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