《数值分析》数值积分要素.ppt

Gauss求积公式的余项 考察以x0, x1, …, xn为节点的Hermite插值公式 利用Gauss求积公式及积分中值定理有 Gauss求积公式的收敛性 定理 若f(x)?C[a,b] ，则Gauss求积公式是收敛的.即 Gauss求积公式的数值稳定性 定理 Gauss求积公式的系数Hk(k=0,1,2,?,n)全是正的. 考察基函数lk(x)?Mn， lk2(x)?M2n， Gauss求积公式对其精确成立，故 (k=0,1,2,?,n 推论 Gauss求积公式是数值稳定的. 定理 n+1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n，最高为2n+1. 证 Gauss求积公式是插值型求积公式，故代数 精度可达到2n+1，但不能超过2n+1. 否则,令f(x)=p2n+1(x)=(x-x0)2(x-x1)2?(x-xn)2 xi (i=0,1,?,n)是求积节点，求积公式对其精确成 立，即 又 矛盾. Gauss?Legendre求积公式 区间[-1, 1]上的Gauss求积公式 Legendre多项式序列{Pn(x)}是区间[-1, 1]上的关于权函数?(x)?1的正交多项式序列， Gauss点应选为Pn+1(x)的零点，这样构成的求积公式称为Gauss?Legendre求积公式. Legendre多项式的递推公式为 Legendre多项式 其中 P1(x)=x P2(x)=(3x2-1)/2 P3(x)=(5x3-3x)/2 P4(x)=(35x4-30x2+3)/8 ? ? Gauss?Legendre求积公式的求积节点确定后，可利用其具有的代数精度确定求积系数. 两点Gauss?Legendre公式为 三点Gauss?Legendre公式为 我们可以通过变量替换 将区间[a, b]上的积分转化为区间[-1, 1]上的积分, 然后通过Gauss?Legendre公式计算出它的近似值. 试用利用三点Gauss?Legendre公式计算计积分 解 作如下变量替换： 则当时y∈[1，3] ，t∈[-1,1]，且 三点Gauss?Legendre公式 在本节的讨论中，将积分中加权?(x)，便得到带权函数的Gauss求积公式，即Gauss型求积公式的定义及同样相关结论. 建立Gauss型求积公式 解 所求Gauss型求积公式应具有3次代数精度，故对f(x)=1,x,x2.x3 都能精确成立，即有 （1） （2） （3） （4） (3)+(2) ×?+(1)×?，得 (4)+(3)× ? +(2)×?，得 取x0, x1为 =0的根，有 解得 ， 从而有 解此方程，得 再由(1)和(2)解得 * (4.2.12) 复化抛物线求积公式的误差 定理４若f(x)? C4[a,b] ,则 (4.2.13) 即复化梯形求积公式是收敛的 Sn的求积系数均为正，故是数值稳定的. 复化Cotes公式 (4.2.14) 其余项为 (