《自动控制原理第4章.ppt

第四章 控制系统的根轨迹分析法 4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.3 系统根轨迹绘制和开环零、极点对根轨迹的影响 4.1 根轨迹的基本概念 一、问题的提出 在前一章控制系统的时域分析的讨论中已经知道，只要能求得系统微分方程的特征方程式的根即系统闭环传递函数的极点，则系统的稳定性和动态性能就可以确定。但是在高阶系统中，求解特征根的根是一件很困难的事，在实际工作中难以应用。 1948年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了求解特征方程根的图解方法——根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一种图解方法。 二、根轨迹的概念 例 已知 系统的结构图如下图所示，请绘出 时的根轨迹。 解：闭环传递函数为 系统特征方程为 一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是系统的开环传递函数Kg（也称为根轨迹增益）。 Kg——常规根轨迹 Kg以外的参数——参量根轨迹 以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解析法就不适用了，工程上常采用图解的方法来绘制。 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 本节重点:掌握根轨迹的绘制方法 本节难点：根轨迹的出射角和入射角 一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为 其开环传递函数 由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得 在S平面上的任一点，凡能满足以上幅角和相角条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。 开环传递函数通常又可以写为 其中 ——开环传递系数 ——开环零点、极点 即 其中 ——开环零点到S的矢量角 ——开环极点到S的矢量角 例 已知开环系统的传递函数如下式，设 为该闭环系统的一个极点， 求其对应的传递系数 。式中 为开环有限零点； 为开环 极点。 解： 在上图，各相角必满足 再按幅值条件求得该点的根轨迹传递系数 二、根轨迹绘制法则 1.连续性：根轨迹是连续的 2.对称性 由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴 3、根轨迹的条数为系统的阶数----即系统特征方程的阶数。 也为开环传递函数的极点数 5.实轴上的根轨迹 在S平面实轴上的线段存在根轨迹的条件是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数。 例4-2 6.分离点和会合点 例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。 解：系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。 根据根轨迹绘制原则可知，根轨迹与实轴相重合的区间为 [-0.1~-0.5],[-1~∞]。 求根轨迹的分离点和会合点： 求对应分离点、会合点的Kg： 例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。 解：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为0，-2和-4。 例 已知系统的特征方程为: 方法一：将 代入特征方程 经整理得 方法二：由特征方程可知，该系统为三阶系统，系统型别为一型。 列劳斯表 若根轨迹与虚轴相交，则表示系统存在纯虚根，该点对应的Kg使系统处于临界稳定状态，因此 又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程。 9.出射角与入射角 出射角：根轨迹从复数极点出发后的走向。 入射角：根轨迹从复数进入零点的走向。 ---- 除被测终点外，所有开环有限零点到该点矢量的相角。 ------除被测起点外，所有开环极点到被测极点矢量的相角。 其等效传递函数为 其渐近线为 其出射角为 例4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试画出其根轨迹。 解：（1）系统有三个开环极点（起点）： （2）实轴上有根轨迹的区间为[0，-1]，[-4，-∞]。 （3）根轨迹的分离点可按以下公式计算 解此方程得 因为在[-1，-4]区间不可能有根轨迹，所以分离点应为 （4）根轨迹的渐近线 （5）根轨迹与虚轴的交点 令 ，