《自动控制原理第四章根轨迹法.ppt

第四章 根轨迹法 第一节 根轨迹与根轨迹方程　 一、 根轨迹?当系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。 根轨迹举例 例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)]??GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0  根轨迹举例 由此关系逐点描绘出K由 0到∞变化时，闭环特征根 在S平面上运动的轨迹---- 根轨迹。 根轨迹图直观地表示了 参数K变化时，闭环特征根 S1，S2所发生的变化。 根轨迹举例 由上述根轨迹图可知： 1．当开环增益由0到∞变化时，根轨迹均在S平面的左半部， 因此系统对所有K值都是稳定的。 2．当0＜K＜0.5时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状 态，阶跃响应为非周期过程。 根轨迹举例 3．当K=0.5时，闭环特征根为重根，系统呈临界阻尼状态, 阶跃响应为非周期过程。 4．当K＞0.5时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态， 阶跃响应为衰减振荡。 5．因为根轨迹的一个起点（开环传递函数的极点）位于坐标原 点，所以系统为I型系统。 二、根轨迹方程 GB(S) = G(S)/[1+G(S)H(S)] ??绘制根轨迹实质上还是寻求闭环特征方程的根。特征方程: 1+G(S)H(S)= 0 根轨迹方程: Gk(S) = G(S)H(S) = -1 （矢量方程） 幅值条件: ︱G(S)H(S)︱= 1 幅角条件: ∠G(S)H(S) = ±(2K+1)π 开环传递函数的标准形式 绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式：  K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) G(S)H(S) = ——————————???????????(S-P1)(S-P2)…(S-Pn) 其中：K*——根迹增益 ?????Zm——开环零点 Pn——开环极点 开环传递函数的标准形式举例 例：将下面的开环传递函数化成标准形式 10(5S+1) 10*5[S+(1/5)] 25/3(S+1/5) G(S)H(S)= —————— = ————————— = ———-——— (2S+1)(3S+1) 2*3(S+1/2)(S+1/3) (S+1/2)(S+1/3) ?K = 10 ————开环增益 K* = 25/3——— 根迹增益 ?K* = K( P1 P2… Pn)/(Z1 Z2… Zm) 第二节 绘制根轨迹的基本法则 一、 根轨迹的分支数?根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数。 证明：?n阶特征对应有n个特征根。 当开环增益K由0到∞变化时，这n个特征根随K变化必然 会描绘出n条根轨迹。 绘制根轨迹的基本法则 二、根轨迹对称于实轴。 证明：?闭环特征根若为实数，则必位于实轴上； 闭环特征根若为复数，则一定是以共轭形式成对出现。 所以根轨迹必对称于实轴。 绘制根轨迹的基本法则 三、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环极点数 n大于开环零点数m，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远. 证明： 由根迹方程： ???????????? K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) ??? G(S)H(S) = ——————————— = -1????????????? (S-P1)(S-P2)…(S-Pn) 绘制根轨迹的基本法则 (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) ? ————————-— = -1/K* = -1/AK?? (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)其中：A= P1P2… Pn/Z1Z2… Zm起点：K=0， 1/AK=∞，上式中只有S→Pi时，等号才成立。起点——开环极点（S→Pi）终点：K=∞， 1/AK=0，上式中只有S→Zi时，等号才成立。终点——开环零点（S→Zi） 绘制根轨迹的基本法则 当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ n＞m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1  ? ————————-— = —— = ——???(S-P1)(S-P2)…(S-Pn) K*