孙炳达版 《自动控制原理》第2章 线性连续系统的数学模型-3.ppt

常见物理系统：RC电路 微分环节和惯性环节的串联组合。 2.3 传递函数 实际上是一个比例环节和微分环节的并联组合。 2.3 传递函数 2.3 传递函数 6、延迟环节 （时滞环节、滞后环节） 特点：输出信号经过一段延迟时间τ后，可完全复现输入信号。 微分方程式： 传递函数: 单位阶跃响应: c(t) = r(t ? ?) c(t) = 1(t ?? ) r(t) t 0 1 c(t) t 0 1 ? 常见的延迟环节：管道压力、流量等物理量的控制中延迟环节。 自动控制原理 第二章 线性连续系统的数学模型 2.3 传递函数 2.3 传递函数 微分方程式 r(t) c(t) 时域解c(t) 求解微分方程式 一、传递函数的概念及定义 优点：用微分方程描述系统的数学模型，直观，借助计算机可以快速准确的求出方程的解，即系统输出量随时间的变化规律。 缺点：如果系统的结构或参数发生变化时，就要重新编写并求解微分方程，不利于分析系统参数变化对性能的影响。 2.3 传递函数 微分方程式 r(t) c(t) 求解代数方程 时域解c(t) L s的代数方程 R(s) C(s) 求解微分方程式 s域解C(s) L-1 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1)对微分方程两边进行拉氏变换。 2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3)求s 域解的拉氏逆变换，即得微分方程的解。 2.3 传递函数 例 图中的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。 R C ur uc 解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。由基尔霍夫电压定律写出电路微分方程： 2.3 传递函数 电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换 当输入为单位阶跃电压时，ur (t) = 1， Ur (s) = 1/s， 得 2.3 传递函数 对上式进行拉氏逆变换，得uc (t)的解为： 式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0) =0 时的响应，故称零状态响应。 第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur (t)=0时的响应，故称零输入响应。 2.3 传递函数 用拉氏变换求解微分方程的优点： 1）复杂的微分方程变换成简单的代数方程 2）求得的解是完整的，初始条件已包含在拉氏变换中,不用另行确定积分常数 3）若所有的初值为0，拉氏变换式可直接用s代替d/dt, s2代替d2/dt2得到。 2.3 传递函数 在上例中，若令uc(0) = 0，则有 于是输出量与输入量的拉氏变换式之比为： 可见，输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量，因此称之为传递函数，记为G(s)。 2.3 传递函数 传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示： G(s) Uc(s) Ur(s) Uc(s) = G(s) Ur(s) 传递函数的定义： 在零初始条件下，系统（环节/元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（环节/元件）的传递函数。通常用G(s)或Φ(s)表示。 2.3 传递函数 一般的，设线性定常系统的微分方程式为 式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。 在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得 (a0sn + a1sn?1 +? + an?1s + an )C(s)= (b0sm + b1sm?1 +? + am?1s + am )R(s) 按定义，其传递函数为： 2.3 传递函数 传递函数的分母多项式即为微分方程的特征多项式，决定系统的动态性能。从描述系统的完整性来说，它只能反应零状态响应部分。 在工程实际当中，系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t =0的值为零，满足零初始条件。 2.3 传递函数 传递函数的性质 传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。 传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。 传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。 传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应，即不能反应系统内部特征。 2.3 传递函数 传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。 传递函数一般为复变量s 的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n ? m。并且所有的系数均为实数。 传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。 2.3 传递函数 例 求比例积