3.4有限单元法(6学时).ppt

有限差分法： 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 边界元法： 边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法,与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同,边界元法是公在定义域的边界上划分单元,用满足控制议程的函数去逼近边界条件.所以边界元法与有限元相比具有单元的未知数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分,这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性,使求解遇到困难. 　　边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确的、有效的工程数值分析方法 。 又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。 * 将i ，j ，m的坐标代入得： 1、三角形面积: 2、计算形函数： 解: 3、计算等效节点载荷： ∵ ∴ 在边界ij和mi上的面力为零，所以上式第一项和第三项积分应等于零。 在边界jm上的面力为： 因为积分沿逆时针方向，所以有ds= -dx 2、如图所示三角形单元的结点坐标，单元的厚度为t,材料的弹性模量为E，泊松比 ，试求该单元的刚度矩阵. 3、一平面三角形薄板构件，离散为2个单元4个节点，如图所示。已知单元①的编码顺序为（1，2，3），单元②的编码顺序为（3，4， 1）。试分别写出：（1）单元①的分块刚度矩阵；（2）单元②的分块刚度矩阵；（3）总刚矩阵的分块矩阵表达式. 2）求单元等效结点载荷 (2) 体力的移植 令单元所受的均匀分布力为 由虚功等效原则 结点力作功 体力作功 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 （3）分布面力的移植 结点力作功 面力作功 由虚功等效原则 X y i j m p 例:均质、等厚的三角形单元ijm的结点坐标如图所示，ij边上作用有沿y轴负方向呈三角形分布的载荷，载荷密度最大值为q ,单 元的厚度为t，试求单元的等效结点载荷。 S （ i ，j ，m轮换） 将i ，j ，m的坐标代入得： （1分） 形函数矩阵为： 解： (1）、计算形函数： (2）、计算等效节点载荷： ∴ 在边界mj和mi上的面力为零，所以上式第二项和第三项积分应等于零。 在边界ij上的面力为: qy 因为积分沿逆时针方向，所以有ds=dx 3）、由结点位移求单元的应变 根据单元的位移函数 由几何方程可以得到单元的应变表达式: [B]矩阵称为 几何矩阵 ( i, j, m 轮换 ) 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 [B]矩阵可以表示为分块矩阵的形式 [B]矩阵称为几何矩阵 或应变转换矩阵。 ( i, j, m 轮换 ) 称为应变矩阵 由于线性位移函数，应变矩阵为常数矩阵。因而单元中的应力与应变为常数，称这种单元为常应变单元。 4）、由结点位移求单元应力 由物理方程得： [D]—称为弹性矩阵 平面应力问题 称为弹性矩阵 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 —应力矩阵 同理可以得到平面应变问题的应力矩阵 将应力矩阵分块表示为， 5）、由结点位移求单元结点力 外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生虚位移，则所有外力在虚位移上做的虚功等于内应力在虚应变上做的虚功。 单元的结点力记为： 单元的虚应变为： 单元的外力虚功为 ： 单元的内力虚功为： 虚功原理： 由虚功原理得： 外力虚功 内力虚功 *** 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 定义为单元刚度矩阵。 在3结点等厚三角形单元中[B]和[D]均为常量，则单元刚度矩阵可以表示为： 6）、单元刚度矩阵 第三章 用常应变三角形单元解弹性力学平面问题 单元刚度矩阵表示为分块矩阵 r=i,j,m s=i,j,m 单元刚度矩阵的性质: