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第二节 矩阵的代数运算 一. 矩阵的加法与数乘 二. 矩阵的乘法 方阵的幂 n 阶矩阵乘积的行列式 小结 矩阵的加法，数乘以及乘法的运算 乘法运算的性质，以及注意事项 矩阵乘法的行列式 目录 上页 下页 返回 结束 * 第二章 1. 矩阵的加法与数乘 2. 矩阵的乘法 1. 矩阵的加减法运算 定义1. 设 为两个同型矩阵， 将它们的对应元素分别相加，得到一个新的矩阵称为 即 矩阵A、B的和，记为A+B. 定义2. 将矩阵A的各元素取相反符号，得到的 矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为-A， 即 定义3. 设 为两个同型矩阵， 称矩阵A+(-B)的为A与B的差，记为A-B. 即 2. 矩阵的数乘运算 定义4 设λ是一个数, 是一个矩阵, 则矩阵 称为数λ与矩阵A的乘积, 记为λA(或Aλ), 即 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. 矩阵线性运算的性质 例1 设A= ，B= ，求2A+B. 解 2A+B = 2 3. 线性组合 得到的矩阵称为矩阵的线性组合。或者称B可以由矩阵 线性表出。 设给定若干个同型矩阵 经线性运算 设给定若干个同型矩阵 经线性运算 例2 证明任一二阶矩阵 都是它们的线性组合 证明任一二阶矩阵 例2 证明 故 例3 求线性组合 解 定义5 矩阵 ，其中 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 并把此乘积记作 关键 乘积矩阵C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列的对应元素乘积之和. 例4 解 可见 在矩阵乘法的运算中， 交换律，消去律均不成立. 另外　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 不存在. 例5 求矩阵A与矩阵B的乘积AB及BA， A = ( 0 1 -1), 解 练习 已知 解 矩阵乘法法则 ①结合律 (AB)C = A(BC) ②分配律 A(B+C）=AB+AC (B+C) A=BA+CA ③ λ(AB) = (λA)B=A (λB) 注意：若 A 为 n 阶方阵, E 为 n 阶单位方阵, 则 例6. 设变量 都是变量 的线性 函数 而变量 都是变量 的线性函数， 求变量 的关系. 解： (1)(2)式分别可以表示成 其中 为对应的系数矩阵， 故 记 则 设 A 为 n 阶方阵，k 为正整数，则 k 个 A 的乘积称为 A 的 k 次幂，记为 Ak, 即 性质： 规定 一般 例6 设 ，计算 解 下用数学归纳法证明 猜想 当 时，等式显然成立. 当 时，等式成立，即 等式成立.所以猜想正确. 要证 时成立，此时有 定义矩阵多项式 亦有 设 A, B 为 n 阶方阵，λ 为常数，则