第四讲：一阶线性方程.pptVIP

第4讲 一阶线性微分方程 * 西南科技大学理学院 * 西南科技大学网络教育 一、一阶线性微分方程的求解思想 三、伯努利（Bernoulli）方程 二、一阶线性方程的Cauchy问题 四、小 结——常数变易法 一阶线性微分方程的标准形式: 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 一、一阶线性微分方程 例如 线性的，一阶的; 前者是非齐次的，后者是齐次的。 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 2. 线性非齐次方程 讨论 两边积分 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定 函数的方法. 实质: 未知函数作变量代换， 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例1 一阶非齐次线性微分方程的通解=对应齐次方程通解+非齐次方程特解 用常数变易法求解方程（*）的基本步骤： （1）求出对应齐次方程的通解 （2）把上式中的任意常数变易为函数，并设 （3）把上式中的 y 代入方程（*）得到 C(x)的关 系式，再积分求得C(x). （4）把(3)得到的C(x)代入（2）中，即得通解。 例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 所求曲线为 二、一阶线性方程的Cauchy问题 伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 解法: 需经过变量代换化为线性微分方程. 三、伯努利方程 求出通解后，将 代入即得 代入上式 例 1. 例 2. 解 例 3. * *