3第三章 概率基础2.ppt

正态分布 一、正态分布的定义及其特征 (二) 正态分布的特征 4、曲线在x=μ±σ处各有一个拐点，即曲线在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞) 区间上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]区间内是上凸的； 正态分布 一、正态分布的定义及其特征 (二) 正态分布的特征 5、正态分布有两个参数，即平均数μ和标准差σ。μ是位置参数。 当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿x轴愈向右移动；反之，μ愈小，曲线沿x轴愈向左移动。σ是变异度参数。当μ恒定时，σ愈大，表示x的取值愈分散， 曲线愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附近，曲线愈“瘦”。 σ相同而μ不同的三个正态分布 μ相同而σ不同的三个正态分布 正态分布 一、正态分布的定义及其特征 (二) 正态分布的特征 6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即： 二、标准正态分布 正态分布是依赖于参数μ和σ2(或σ)的一簇分布， 正态曲线之位置及形态随μ和σ2的不同而不同。这就给研究具体的正态总体带来困难， 需将一般的N(μ，σ2)转换为μ=0,σ2=1的正态分布。我们称μ=0,σ2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作ψ(u)和Φ(u)， 二、标准正态分布 随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)，分布密度曲线如图。 对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量x，都可以通过标准化变换： u=(x-μ)／σ 将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u称为标准正态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。 标准正态分布密度曲线 二、标准正态分布 对不同的u值编成函数表，称为正态分布表，从中可查到u在意一个区间内取值的概率。这就给解决不同μ、σ 2的正态分布概率计算问题带来很大方便。 三、正态分布的概率计算 关于正态分布的概率计算，我们先从标准正态分布着手。这是因为，一方面标准正态分布在正态分布中形式最简单，而且任意正态分布都可化为标准正态分布来计算；另一方面，人们已经根据标准正态分布的分布函数编制成正态分布表以供直接查用。 三、正态分布的概率计算 (一) 标准正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则u在[u1,u2]内取值的概率为： ＝Φ(u2)－Φ(u1) 而Φ(u1)与Φ(u2)可由附表查得。 P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5 P(u≥u1) =Φ(-u1) P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1) P(｜u｜＜u1)=1-2Φ(-u1) P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1) 三、正态分布的概率计算 (一) 标准正态分布的概率计算 已知u～N(0，1)， 试求： (1) P(u＜-1.64)＝? (2) P (u≥2.58)=? (3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =? 三、正态分布的概率计算 (一) 标准正态分布的概率计算 已知u～N(0，1)， (1) P(u＜-1.64)=0.05050 (2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.004940 (3) P (｜u｜≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468 (4) P (0.34≤u＜1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389 三、正态分布的概率计算 (一) 标准正态分布的概率计算 关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记： P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973 P（-1.96≤u＜1.96）=0.95 P (-2.58≤u＜2.58)=0.99 三、正态分布的概率计算 (一) 标准正态分布的概率计算 u变量在上述区间以外取值的概率分别为： P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2)=1- P（-2≤u＜2）=1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01 三、正态分布的概率计算 (二) 一般正态分布的概率计算 正态分布密度曲线和横轴围成的一个区域，其面积为1，这实际上表明了“随机变量x取值在-∞与+∞之间”是一个必然事件，其概率为1。若随机变量 x服从正态分布N(μ,σ2)，则x的取值落在任意