1_8第八节 函数的连续性与间断点.ppt

函数与极限 一、函数的连续性 5、四则运算的连续性 6、反函数与复合函数的连续性 7、初等函数的连续性 (一) 最大值和最小值定理 (二)零点定理 二、函数的间断点 三、小结 1.跳跃间断点 例4 解 下页 上页 首页 2.可去间断点 例5 下页 上页 首页 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 下页 上页 首页 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 下页 上页 首页 3.第二类间断点 例6 解 下页 上页 首页 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 下页 上页 首页 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 下页 上页 首页 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 下页 上页 首页 例8 解 下页 上页 首页 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 下页 上页 首页 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 下页 上页 首页 思考题 下页 上页 首页 思考题解答 且 下页 上页 首页 但反之不成立. 例 但 下页 上页 首页 练 习 题 下页 上页 首页 下页 上页 首页 练习题答案 下页 上页 首页 下页 上页 首页 * 《高等数学》电子教案 曲阜师范大学 1.函数的增量 第八节 函数的连续性与间断点 下页 上页 首页 2.连续的定义 下页 上页 首页 下页 上页 首页 研究函数 例1 在点x=1,x=2处的连续性; 解: ∵ ∴ 是连续点 ∵ ∴ 是跳跃间断点 下页 上页 首页 3.单侧连续 定理 下页 上页 首页 左、右极限与函数值相等. 例2 解 右连续但不左连续 , 下页 上页 首页 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 下页 上页 首页 例3 证 下页 上页 首页 重点： 初等函数的连续性 定理1 例如, 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3 意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 定理4 注意　定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的. ★ ★ ★ 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. ★ (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意　 例1 解 注意　2. 初等函数求极限的方法代入法. 例2 解 例3 解 定义: 例1 8、闭区间上连续函数的性质 例2 定理1(有界性与最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定界性且有最大值和最小值. 注意：1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 定义: 定理2（零点定理） (三) 介值定理 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. 例3 证 由零点定理, 例4 证 由零点定理, 下页 上页 首页 * *