第五节 函数展开成幂级数 - 太原理工大学.pptVIP

二 泰勒级数 三 函数展开成幂级数 第六节 函数展开成幂级数 三 函数展开成幂级数 二 泰勒级数 一 问题的提出 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 1.如果能展开, 是什么? 上节例题 即得形如 函数的展开式. 需要考虑 问题 是否存在幂级数在其收敛域内以 为和函数? 一 问题的提出 1.Toylor公式： 复习前面的两个公式 其中 在 与 之间 2.Maclaurin公式 其中 在 与 之间 函数展开幂级数的必要条件. 定理1 若 在 处能展开成幂级数 则 在 内具有任意阶导数,且 证明 在 内收敛于 ,即 令 ,即得 逐项求导任意次,得 即为泰勒系数 且泰勒系数是唯一的,所以 的展开式是唯一的. 问题 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点 的泰勒级数. 称为 在 点 的麦克劳林级数. 在x=0点任意可导,且 例如 麦克劳林级数为 该级数在 内和函数 可见 除 外, 的麦氏级数处处不收敛于 . 函数展开幂级数的充要条件. 证明 必要性.设 能展开为泰勒级数. 定理2 在点 的泰勒级数,在 内 收敛于 在 内 充分性 即 的泰勒级数收敛于 定理3 设 在 上有定义, 对 恒有 则 在 内可展开成点 的泰勒级数. 证明 在 收敛 故 可展成点 的泰勒级数. 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 写出 级数: 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 解 由于M的任意性, 即得 例1 将 展开成幂级数. 在 上 解 且 例2 将 展开成 幂级数. 解 例3 将 展开成 幂级数. 在 内,若 利用 两边积分 得 即 牛顿二项式展开式 注意在 处收敛性与 的取值有关.