北邮概率论讲议 第3讲.ppt

* 北京邮电大学电子工程学院 * 测度的完全化 测度完全化的好处在于：假设某个依赖于w的性质在某个零测集N之外成立，则使此性质不成立的w的集就是N的一个子集，一般来说，它不一定属于F，但它属于 ，且它的 测度为零。有了这个例外集的可测性有时是方便的。 北京邮电大学电子工程学院 北京邮电大学电子工程学院 * 北京邮电大学电子工程学院 * 有了定义在集代数A上的测度?，我们考虑如何产生测度?在?-代数?(A)上的扩张？最后得到 “测度扩张定理”。 首先必须明白什么叫“扩张”？ 定义1.2.3 A1，A2是?上的两个非空集合类，且A1 ?A2， ?i是Ai的测度(i=1,2)， 若对?A?A1 ,有?1(A)=?2(A)， 则称?2是?1在A2上的扩张(?1是?2在A1上的限制)。 二、测度的扩张定理 * 北京邮电大学电子工程学院 * 称F?上的v*是由A上的v所引出的外测度。 (所有的A的覆盖的测度和的下确界，即为A的外测度。) 注意：这里可列多个集合的并也包括有限个集合并的情况。 外测度不见得是测度！！！ 以下讨论的前提是A是?上的集代数，?是A上的测度 1、F?上的外测度?*(A) 对任意A? F?，定义 SA * 北京邮电大学电子工程学院 * 下确界： 对于给定的数集S={x}，若数?满足条件： (1) ? 是S的下界，即对?x?S，有??x; (2)对任何大于?的数?，一定存在S中某个 数x0，使得x0 ?. (即对??0,? x0?S,使得 x0?+?) 则称?为数集S的下确界，记作： ?=inf S 例： * 北京邮电大学电子工程学院 * 引理1.2.1 由集代数A上的测度?引出的F?上的外测度?*，满足： 下面讨论外测度的性质： 证明：（1）因A?A，由外测度定义，有： ?* (A)? ?(A) 因此，只需证明?* (A)? ?(A) 不减性 * 北京邮电大学电子工程学院 * 综上所述?(A)= ?*(A) 下面证明?* (A)? ?(A)，只需说明?(A)为A的所有覆盖的测度和的下界即可 * 北京邮电大学电子工程学院 * 即：外测度是单调上升的函数。 即覆盖B的集合序列一定覆盖A * 北京邮电大学电子工程学院 * 则结论显然成立。 由定义： * 北京邮电大学电子工程学院 * * 北京邮电大学电子工程学院 * 为了把那些满足可加性的集合挑选出来，我们引入? *可测集的概念，并构成一个新的集合类A * ，从下面的分析可以看到，该集合类A *不仅为?-代数，而且? * 是A *上的测度。 问题： 外测度? * 在F?上未必满足?-可加性! * 北京邮电大学电子工程学院 * 2、 ? *可测集 （1.2.3） （1.2.4） 证明：必要性显然成立 下面简单说明充分性： * 北京邮电大学电子工程学院 * 由引理1.2.1，有? *(?)=0 由引理1.2.1(3)知外测度函数? *具有次可加性，则在引理1.2.1(3)中取 我们记A *为所有? *可测集组成的集合类。 * 北京邮电大学电子工程学院 * 引理1.2.3 A *满足： （1） A *是?-代数；(若集代数对可列不交并封闭则为?-代数） 证明： （1） 首先证明A *是集代数 a、∵? *(?)=0，??D ? ?，有： （1.2.4）式的定义具有对称性 ??? A * * 北京邮电大学电子工程学院 * 则有：A∪B? A * 综上所述知A *是集代数。 （1.2.5） c、?A，B?A *，有：A∪B?A * 若A，B?A *，则对?D ? ?，有： * 北京邮电大学电子工程学院 * 下面说明A *是?-代数，只需证A *对可列不交并运算封闭。 设An? A *，n=1,2,…， Ai Aj=?，i?j，则：对D??，有： * 北京邮电大学电子工程学院 * 令n??，有： A * ，则A *是?-代数。 （1.2.6） 由前面结论，有： * 北京邮电大学电子工程学院 * 引理1.2.3 A *满足： * 北京邮电大学电子工程学院 * 由前面的结论，有: 由（1.2.6）式： 结论得证。 * 北京邮电大学电子工程学院 * （3）欲证? *是A *上的测度，只须说明? *在A *上满足?-可加性。 考虑到v*(?)=0，所以?A? A *上，有： v*(A)?0 则v*是A *上的测度。 整个引理的证明完毕。 * 北京邮电大学电子工程学院 * 3、测度扩张定理 问题： A *是否是包含A的?-代数？ ? *是A *上的测度 ? *不降，满足次可加性 ？