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第四章 根轨迹法 线性系统的动态性能取决于系统的闭环极点和零点的分布。系统的开环零点与开环极点一般是容易求得的，因此，系统的闭环零点容易求得，但闭环极点要通过求解闭环特征方程得到。虽然可以通过计算机求解得到闭环极点，但不能看出系统闭环极点随着系统参数变化的情况。 闭环系统的性能由闭环零极点分布决定。当开环传递函数中某个参数变化时，闭环系统特征方程的系数也相应变化，闭环极点也要改变（解根难）。 1948年伊万思提出了根轨迹法，能够根据系统开环零、极点分布，用图解的方法画出系统闭环极点随着系统参数变化的轨迹。 研究闭环极点随开环某参数变化而变化的规律，进而讨论闭环系统性能的变化趋势，是具有理论和实际工程意义的课题。（调参、设计等）。 根轨迹的特点： 图解法，简单； 特别适用于研究当系统的开环参数变化时，系统性能的变化趋势问题； 近似方法，不十分精确。 本章简要介绍控制系统的根轨迹绘制与系统分析方法。主要有： 根轨迹的基本概念； 根轨迹的绘制规则（包括常义根轨迹和广义根轨迹）； 控制系统的根轨迹分析法。 4.1根轨迹的基本概念 一、根轨迹的概念：当开环系统某一参数从0到∞变化时，闭环极点在S平面上变化所描绘出的轨迹。 （控制系统的闭环极点在复平面上随系统参数变化的轨迹称为控制系统的根轨迹）。 几个基本定义： 开环零点：开环传递函数分子等于零的点； 闭环零点：闭环传递函数分子等于零的点； 开环极点：开环传递函数分母等于零的点； 闭环极点：闭环传递函数分母等于零的点； 例1：系统如右： 根轨迹增益。闭环传递函数为： 闭环特征方程为： 特征根为： , 当系统参数（或）从零变化到无穷时，闭环极点的变化情况如表4-1所示。 表4-1 、=0～时系统的特征根 0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 ∞ ∞ -1+j∞ -1-j∞ 二、根轨迹与系统的性能： 1、稳定性：系统对于所有K值均是稳定的。 2、稳态性能：开环有一个处于原点，是一型系统。K值即为静态速度误差系数。 3、动态性能： 1) 0K0.5时，特征方程有两个不等负实根，系统处于过阻尼状态； 2）k=0.5时，特征方程有一对相等负实根，系统处于临界阻尼状态； 3）k0.5时，特征方程有一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。 三、闭环零极点与开环零极点之间的关系： 例2：系统如右： ● 闭环零点=前向通道的零点+反馈通道的极点（不随变化，易得到，不必专门研究。） 闭环极点与开环零点、开环极点和根轨迹增益都有关系（需专门研究）。 四、根轨迹方程： 例3、如右系统 令1+G(s)=0, 下面推导根轨迹应满足的条件。系统如右图所示， 设系统的闭环特征方成为 （4.1） 或者 （4.2） 根据式（4.2）写成极坐标形式，可以得到绘制根轨迹的幅值条件和相位条件： 幅值条件 相位条件 设开环传递函数可写为 开环增益与根轨迹放大系数间的关系： (者除外) （根轨迹方程） 五、根轨迹的分类 常义根轨迹：以根轨迹放大系数为参变量的根轨迹； 广义根轨迹（参量根轨迹）：以除以外的参数为参变量的根轨迹； 当参数在中变化时，所对应的根轨迹称为主要根轨迹，一般简称为根轨迹。 当参数在中变化时，所对应的根轨迹称为辅助根轨迹，或者称为零度根轨迹。 主要根轨迹和辅助根轨迹合在一起称为全根轨迹。 4.2根轨迹的绘制 绘制根轨迹的方法，是根据开环传递函数的零、极点和闭环极点的关系，得到根轨迹的一些特征，然后根据这些特征画出根轨迹的大致形状。 绘制根轨迹的基本规则： 规则1：根轨迹的分支数及对称性：根轨迹是对称于实轴（Real Axis）平面上的变化轨迹。因此根轨迹的分支数必与闭环特征方程式根的数目一致。由特征方程可见，闭环特征根的数目就等于和中的大者，所以根轨迹的分支数必与开环有限零、极点数中的大者相同。 由于闭环特征方程中的某些系数是根轨迹增益的函数，所以当从零到无穷大连续变化时，特征方程的某些系数也随之而连续变化，因而特征方程式根的变化也自然是连续的，故根轨迹具有连续性。 因为传递函数为有理分数函数，所以特征方程式的根只有实数和复数两种。根轨迹是根的集合。 规则2：起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有条根轨迹终止于无穷远处。 起点： 终点： 规则3：实轴上的主要根轨迹只能