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总结四： 各章范例精选 质点运动学习题 有一椭圆规尺以其端点A与B沿直线槽OX及OY滑动，如图所示，而端点B以匀速C运动。求规尺上一点M的速度与加速度的大小。已知AM = a，BM = b。 说明：此题是根据已知运动情况写出运动学方程，然后求速度和加速度。属质点运动学第一类问题。 有一划平面曲线轨迹的点，其速度在Y轴上的投影于任何时刻 均 为常数C。试证在此情况下，加速度的量值可用下式表示： a= 。式中v为点的速度，ρ为轨迹的曲率半径。 说明：此题要在透彻分析的基础上，然后联合运用速度、加速度在直角坐标系和自然坐标系中的表达式来求解。这是学生应该掌握的基本解题方法。除此之外也可以用几何作 图的方法来求解，但这种方法并不可取，因为它不能很好反映解题的基本物理思想。 一质点作平面曲线运动，其速度矢量与加速度矢量之间的夹角 α保持不变，试证其速度可表示为：v = v0ectgα(θ-θo)式中θ 为速度矢量与x轴之间的夹角。且当θ=θ0时v=v0 。 说明：此题在前两题的基础上增加了一定的难度，不仅要从已知推想到所求的结果，而且还要从两头同时推想，才能较快找到两者之间的关系。 质点动力学 如下图所示两固定端A、B中间有三个弹簧。它们的弹性系数分别为k1、k2、k3，原长分别为L1、L2、L3，也就是说A、B两端之间长度为L1+L2+L3，中间夹着的两个质点的质量分别为m1和m2。假如m1和m2都沿着AB直线振动，请建立m1和m2的运动微分方程。 说明：解决质点动力学问题的关键之一，是如何建立质点的运动微分方程。本题旨在如何分析建立运动微分方程。 有一平面曲线形细管，以匀速绕对称轴旋转，角速度ω是已知的。要求管内的小球在任何位置都是相对静止的。求此管的曲线方程。球与管之间无摩擦。 说明：本题是已知运动情况，求质点的运动轨道的基本动力学问题。 滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧的另一端挂一重为p的物体。当滑轮以等角速度转动时，物体以等速度v0下降，若将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受力p时的静伸长为λcT。 说明：此题从建立质点的运动微分方程，解出r = r(t),再找到最后答案。这是 学生必须掌握的基本方法。 在光滑水平面上的两个小球质量分别为m1、m2，由一个轻弹簧 连系着，设小球只沿着弹簧轴线方向振动，当m1固定时m2每 秒振动n次，求证①当m2固定时，m1将每秒振动n m2/m1次。 ②如果m1、m2都是自由的则振动频率为n 。 说明：本题求证的第①小题比较简单，第②小题有一定的难度。需仔细分析，并注意说明坐标系原点不能取在m1和m2上，关键是求出两球之间的距离随时间的变化规律。 例5.一炮弹以初速v0，与地面成α的角射出。如考虑地球引力 与炮弹到地心距离的平方成反比。并考虑地面为一球面。试 求炮弹离地面的最大高度，设地球的半径为R，地面上的引 力为mg。 说明：此题难度较大。需采用极坐标系建立质点的运动微分方程，否则很难解。 非惯性系力学 有一圆盘以匀角速度ω绕通过垂直于盘心的轴匀速转动，沿圆盘半径方向开有一小槽，槽内有一小球沿着小槽（相对圆盘）自盘心以匀速度v = c向外运动，求小球的绝对加速度。 说明：此题用两种方法即分析法和图示法求解相对运动的运动学问题。以比较两种方法的优缺点。 一升降机向上以加速度a上升, 求此升降机中的单摆的周期？ 说明：此题为非惯性系动力学的基本题。主要在于掌握解决非惯性系动力学问题的基本思路和基本步骤。 质量为m的小环，套在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，如圆圈在水平面内以匀角速度ω绕圈上某点o转动，试求小环沿圆圈切向和法向的运动微分方程及任意瞬时的相对速度。（设初始条件为t=0时，θ=θ0 ,θ=θ0 ） 说明：此题可以通过选择不同的动系原点说明质点所受的惯性力与动系及动系原点 选择有关。 质点系力学 在光滑的水平面上，放有一个圆环，它的半径为a，质量为M，有一小虫质量为m，在环上爬行。问小虫和圆环中心的运动轨道是如何的？ 说明：此题先根据质心运动定理求出质心运动，然后由质心的定义式求出各部分的运动。这是求有相对运动的系统的动力学问题的基本思路。 一条质量比较小但具有弹性的绳子，其两端系有物体P与Pˊ，质量分别为m和mˊ，放在一光滑的水平面上。物体之间的距离等于绳子的固有长度，物体P沿着长度增加的方向受到打击，给m一个冲量I，见下图。求当绳子恢复其固有长度后两个物体的速度，