弹性力学——平面问题基本理论.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (d)由（a）（b）分别积分得到 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 黑板讲解 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ?, 2-5, 2-6 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 谢谢 1. 平衡微分方程 （2-2） 2. 几何方程 （2-8） 3. 物理方程 （平面应力问题） （2-12） 4. 边界条件 位移： （2-14） 应力： （2-15） 平面问题的基本方程 * 平面问题基本方程 （2-13） （平面应变问题） 平面应力→平面应变： 按位移求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程： （2-18） （2）边界条件： 位移边界条件： （2-14） 应力边界条件： （2-19） * 按位移求解平面问题的基本方程 （平面应力问题） 平面应力→平面应变： 按应力求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程 （2）相容方程（形变协调方程） （3）边界条件： （平面应力情形） * 按应力求解平面问题 （平面应变情形） （1）平衡方程 （2）相容方程（形变协调方程） （3）边界条件 常体力下平面问题的基本方程 * 常体力下平面问题的基本方程 全解 = 齐次方程通解 +非齐次方程的特解。 1 特解 常体力下特解形式： 2 通解 —— 应力函数表示的相容方程 * * * * * * * * * * *正负坐标面 黑板画图 * * * * * * * * 黑板介绍，未知函数数 * * * * * 2-3 * * * * 按应力求解平面问题 相容方程 按应力求解平面问题 按应力求解平面问题的未知函数： （2-2） 平衡微分方程： 2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。 需寻求补充方程， 从形变、形变与应力的关系建立补充方程。 * 按应力求解平面问题 将几何方程： 作如下运算： 变形协调方程（相容方程） 显然有： —— 形变协调方程（或相容方程） 即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。 * 按应力求解平面问题 例： 其中：C为常数。 由几何方程得： 积分得： 由几何方程的第三式得： 显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。 变形协调方程（相容方程） * 按应力求解平面问题 变形协调方程的应力表示 （1）平面应力情形 将物理方程代入相容方程，得： （a） * 按应力求解平面问题 利用平衡方程化简： 两边相加： （b） 变形协调方程的应力表示 （1）平面应力情形 * 按应力求解平面问题 （a） 变形协调方程的应力表示 （1）平面应力情形 将 (b) 代入 (a) ，得： 将 上式整理得： 应力表示的相容方程 （平面应力情形） （a） （b） * 按应力求解平面问题 （2）平面应变情形 将 上式中的泊松比μ代为： ， 得 应力表示的相容方程 （平面应变情形） 注意： 当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即 变形协调方程的应力表示 * 按应力求解平面问题 应力表示的相容方程 按应力求解平面问题的基本方程 （1）平衡方程 （2）相容方程（形变协调方程） （3）边界条件： （平面应力情形） 说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。 （2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。 * 按应力求解平面问题 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2） （a） （b） 例题 * 解: （1） 将式（a）代入平衡方程： — 满足 将式（a）代入相容方程： ∴　式（a）不是一组可能的应力场。 例题 * （1） （a） 例题 （2） 解: 将式（b）代入应变表示的相容方程： 式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。 * （2） （b） 例题 图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。 * 解: 材料力学解答： 式（a）满足平衡方程和相容方程？ （a） 式（a）是否满足边界条件？ 代入平衡微分方程： 显然，平衡微分方程满足。 例