经济数学教学课件作者陈笑缘电子教案6.2课件.pptVIP

* 1.随机变量 【案例6.9】打靶时，击中的环数看作随机变量 ， 则随机变量 的可取值为0至10环的任意一值。 【案例6.10】“测量某单位一天的用电量”这一试验。用 表示该单位一天的用电量，则 的取值随着试验结果的不同而在 上取不同的值。 6.2.1 随机变量及其分布函数 上述两个例子中的 ， 具有以下特点： （1）取值是随机的，即它所取的值是由试验 的结果而定，事先并不知道取到哪一个值； （2）概率的确定性，即它所取的值的概率是确定的。 在随机试验中，如果试验的结果可以用一个具有上述特点的变量来 表示，那么这个变量称为随机变量。随机变量常用希腊字母 、 或大写英文字母 、 、 等表示。 随机变量按其取值情况可分为离散型与非离散型两类。如果随机变量所有可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果随机变量所有可能取的值不能一一列出， 则称变量 为非离散型随机变量，在非离散型随机变量中最重要 的是连续型随机变量。 2．分布函数 定义6.5 设随机变量 ，为任意实数，称函数 为 ， 的分布函数。 性质1 。 性质2 是 的单调不减函数。 性质3 ， 。 对任意 ，则 6.2.2 离散型随机变量 1．离散型随机变量的概率分布 【案例6.11】随机抛掷两枚质地均匀的硬币，如果用随机变量 表示出现正面的枚数，则 的可能取的值为0,1,2,相应概率分别为 1/4，1/2，1/4。即可表示为 1/4 1/2 1/4 2 1 0 我们把上述情况定义为随机变量的分布列。 定义6.6 设随机变量 的所有可能取值为 ， ，…， …且 ， ， （ ）则称 随机变量，并称 为离散型 ，（ ）为 的概率分布或分布列。也可表示成如表6.2形式。 … … 表6.2 随机变量 的概率分布列 … … … … 由概率的定义知， 满足：（1） ≥0， （2） 。 2．离散型随机变量的分布函数 由离散型随机变量的分布列可求出离散型随机变量 的分布函数: 例6.2.1 袋中有3件正品，2件次品。从中任取2件，求取到次品数 的分布列，并求 的分布函数。 解： （1）次品数 的取值范围为：0，1，2。因为 ， ， 所以取到次品数 的分布列为 2 1 0 （2）随机变量 的分布函数 中的 是任意的。因为当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， 。即分布函数为： 几种常见的典型分布 泊松分布 二项分布 两点分布 表 示 分 布 列 名 称 ，（ ） ， =0，1，2，… ； ） （ ，（ =0，1，2，…； ） 【说明】（1） 重伯努利概型中事件 发生的次数 服从以 ， 为参数的二项分布。 （2）当 时，二项分布即为两点分布。 在每次试验中发生的概率， （3）当试验次数 很大，事件 很小的时候，泊松分布就可作为二项分布的近似，有 （其中 ） 例6.2.2 在保险公司有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险， 在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日应交12元的 保险费，而在死亡时家属可以从保险公司领到2000元的赔付款。求（1）保险公 司亏本的概率；（2）保险公司获利分别不少于20000元的概率。 解： 以“年”为单位来考虑，保险公司的总收入为 = 元。设 为一年中死亡人数，则 （1）当 ，即 时，保险公司将会亏本，其概率为： （2）保险公司获利不少于 元，则 即 ， 6.2.3 连续型随机变量 1.连续型随机变量的概率密度 【案例6.12】假如某公交车站每隔6分钟发出一班公交 车，某人随机到该公交车站候车，把候车时间看作随机变量 随机变量 的可取 。 内的任意值。像这类随机变量称为 连续型随机变量。 定义6.10 设 为随机变量，若存在非负函数 ，使得 = 对任意实数 ，成立， 则称 为连续型随机变量，并称 为 的概率密度函数，简称密度函数或概率密度。 概率密度函数具有如下性质： （1） ≥0 ； （2） 2．连续型随机变量的分布函数 由分布函数的定义知，连续型随机变量 的分布函数为： 显然有 。 例6.2.3 已知随机变量 的概率密度为： 求（1）常数 （2）分布函数 （3） 解： （1） （2） 因为 ，又 。