经济数学教学课件作者陈笑缘电子教案7.3课件.pptVIP

* 7.3 线性方程组 7.3.1 高斯消元法 7.3.2 线性方程组解的讨论 7.3.3 线性方程组的一般解 7.3.1 高斯消元法 1. 元线性方程组 定义7.13 一般地，称由 个未知元、 个线性方程组成的方程组 （7.1） 为 元线性方程组。其中 为未知元， 为系数， 为常数。 当线性方程组（7.1）中的常数项 （7.1）为非齐次线性方程组。当 全为零时，即 不全为零时，称线性方程组 （7.2） 称为齐次线性方程组。 根据矩阵的运算，线性方程组（7.1）还可以表示成矩阵形式： （7.3） 其中 称为系数矩阵， 和 分别称为未知元矩阵和常数列矩阵。 由系数和常数项组成的矩阵 称为增广矩阵，记为 或 。 2.高斯消元法 【案例7.4】 解线性方程组 。 【分析】 方程组的消元过程与增广矩阵的初等行变换过程对照如下： 用消元法解一般线性方程组，只需写出增广矩阵，对 其施行初等行变换，使其化为行简化阶梯形矩阵，最后还原为最简线性方程组，从而写出方程组的解。 这种解线性方程组的方法称为高斯消元法，简称消元法。 例7.3.1 用消元法解线性方程组 解： 对方程组的增广矩阵进行初等行变换，化为行简化阶梯矩阵。 得到同解线性方程组 ，将方程组中含 和 的项移到等号的右端，得原方程的解为 其中 和 可以取任意实数，我们把它们称为原方程组的自由变量。 用自由变量表示的解称为线性方程组的一般解。 例7.3.2 解线性方程组 解： 得到同解线性方程组 显然第三个等式不成立，所以此线性方程组无解。 。 用消元法解线性方程组的具体步骤可归纳为： 第1步：写出增广矩阵 ，用初等行变换将 化成行简化阶梯矩阵； 第2步：根据行简化阶梯矩阵，写出同解线性方程组，从而 判断或得出线性方程组的解。 7.3.2 线性方程组解的讨论 定理7.6 线性方程组 有解的充分必要条件是它的 系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，即 。并且当 时，有唯一解；当 时，有无穷多解。 例7.3.3 判定下列线性方程组是否有解？若有解，说明解的个数。 解： （1） 因为 ，所以方程组无解。 （2） 因为 ，所以方程组有解，且有唯一解。 （3） 因为 ，所以方程组有无穷多解。 例7.3.4 当 为何值时，线性方程组 有唯一解、无穷多解或无解？ 解： 因为 ，根据方程组解的 当 当 当 ，且 ，且 ， ， 方程组有唯一解。 时， ，方程组无解； 时， ，方程组有无穷多解； 7.3.3 线性方程组的一般解 1.非齐次线性方程组的解 根据定理7.6知线性方程组 当 它的解中含有 时，有无穷多个解。 个自由变量。 如例7.3.3的（3）中， 增广矩阵继续进行初等行变换，化为行简化阶梯矩阵 ，方程组有无穷多解。这时，将 得线性方程组的一般解为 （其中 是自由未知量）。 例7.3.5 已知总成本 是产量 的二次函数 产量与总成本之间有如表7.7所示的数据.试求总成本函数中的 。根据统计资料， 。 表7.7 某厂某阶段产量和总成本统计表 产量 总成本 370 160 104 20 10 6 第3期 第2期 第1期 时期 （千台） （万元 ） *