同济六版高等数学下册9-1及答案.ppt

* 例11 解 * 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次． （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 * 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 （注意趋近方式的任意性） 小 结 多元函数的定义 思考题 * 思考题解答 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取 * * P63 4, 5 (2), (4), (6) 6 (2), (3), (5) 作 业 * 练 习 题 * * * 练习题答案 * 不存在. 观察 * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 观察 不存在. * 一、平面点集 n维空间 x y O (x,y) x y 坐标平面（二维空间） §1. 多元函数的极限与连续 第九章 多元函数微分学及其应用 称为平面点集. 1. 平面点集 * （1）邻域 表示点P0的某邻域（去心邻域）. * （2）区域 如： 为开集． 内点： 开集： 边界点： 边界： * 区域（或开区域）： 例如， 例如， 开区域 闭区域： 闭区域 连通的开集． * 是有界闭区域； 是无界开区域． 例如， 有界点集： 无界点集：非有界点集. * （3）聚点 (a) 内点一定是聚点； 注： 例 (0,0)是边界点也是聚点,但不属于集合． (b) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 都是边界点也是聚点，也都属于集合． * 2. n维空间 ，即 在 中定义线性运算如下： 规定 * n维空间中邻域、区域等概念 内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义． 邻域： n维空间中两点间距离公式 特殊地当 时，为数轴、平面、空间两点间的距离． 设两点为 这样定义了线性运算的集合 称为n维空间. * 二、多元函数概念 类似地可定义三元及三元以上函数． n元函数 * 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 * 例2 设 * 例3 设 解： 当 则 * 二元函数 的图形 二元函数的图形通常是一张曲面 * 又例如,球面 图形如右图. 例如, 可确定两个二元函数 对于三元(及多于三个自变量)函数 没有明显的几何意义. * 三、多元函数的极限 * 注： （2）定义中 的方式是任意的； （4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似； （3）二元函数的极限也叫二重极限 * (6)有些二元函数的极限可化为一元函数的极限,形如 (7)洛比达法则为计算一元函数极限的特殊方法,对多元函数并不成立,除情况(6)外不能用洛比达法则。 * 例4 求证 证 当 时， 原结论成立． * 例5. 设 求证： 证： 故 总有 要证 * 例6 求极限 解 =0 错误：变形中改变了定义域 同理： 求极限 * 例7 求极限 解： * 确定极限不存在的方法： * 其值随k的不同而变化， * * 证 练习 证明 不存在． 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 问题：极限存在吗？ * 不存在. 观察 播放 * 利用点函数的形式有 * 四、多元函数的连续性 定义4 如果 在开区域D内每一点都连续，则称 在D内连续. * * 例9 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 当 时 故函数在(0,0)处连续. * 例10 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． * 多元初等函数：由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．