微积分A2(第七章第1、2、3节)及答案.ppt

例1 求证 证 当 时， 原结论成立． 例2 在点(0, 0)处的极限。 (即(x, y) = (0, 0)时) 若(x, y)沿 x 轴趋向(0,0) 解: 考察函数 即考察 若(x, y)沿 y 轴趋向(0,0) (即(x, y) = (0, 0)时) 选路径 y = k x , 显然,极限值随 k 的不同而不同, 即D内任一点 (x, y) 沿直线 y = k x → (0,0) x y . (x, y) . (x, y) D 例3.求 解: 例4.求 解一: 解二: 例5. 解： 2、连续概念的相同之处： 不同之处： f (x) 的图形是一条连绵不断的曲线， f (x,y) 的图形是一个无孔隙、无裂缝， 如不连续，其间断点是一些孤立的点。 如不连续其间断点可以是一些孤立的点，也 完整无缺的曲面。 一元： 二元： 极限值等于函数值。 可以连成一条曲线（间断线）。 如: (1) 前例1中 ∴(0,0)是其一个间断点, 即 f (x, y)在(0,0)处不连续。 (2) (3) 多元初等函数： 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一 个式子表示的多元函数叫多元初等函数。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： 例6 求极限 解 是多元初等函数。 定义域： 于是， （不连通） 有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上定义的多元连续函数，在 在有界闭区域D上定义的多元连续函数，如 （1）最大值和最小值定理 （2）介值定理 D上至少取得它的最大值和最小值各一次． 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次． 课 外 作 业 习题 7— 1 (A) 5(3, 4, 6) — 要求作图,6(3, 5), 7(2) 习题 7— 1 (B) 2 §2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算 表示函数 y 对自变量 x 的变化率。 多元(二元)函数 z = f (x, y), 一元函数 y = f (x) 的导数 若固定一个变量(如 y)， 函数 z 对另一变量(如 x)的变化率: 回忆 定义： 设函数 z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 的某一邻域 内有定义, 当 y 固定在 y0 ，而 x 在 x0 处有增量△x 时，相应地函数有增量（偏增量）： 如果 存在 则称此极限为函数 z = f (x, y)在点(x0, y0)处对 x 的 偏导数，记作 同理，若固定 x = x0 , 则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 处 若 fx , fy 在区域 D 内每一点(x, y)处都存在，则 对 y 的偏导数, 记作 称其为 z = f (x, y)对 x 或 y 的偏导(函)数。记作 说明： 3、偏导数的求导法则与一元函数导数的法则相仿。 2、上述定义可以推广到二元以上的函数， 如有：f (x, y, z)在D内任一点(x, y, z)对x的偏导数 1、 例1. 解一： 例1. 解二： 例2. 解： 例3. 解： 证 例4：已知理想气体的状态方程 pV=RT (R为 常数)，求证： 解 于是， 考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数， 于是， x z y 0 ? 由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) L： L = tan? 偏导数的几何意义 y =y0 同理可解释 M Tx 固定 y = y0 得曲线 M ? z= f (x,y) L x =x0 固定 x = x0 Tx 偏导数的几何意义 x z y 0 M ? 由一元函数导数的几何意义： z= f (x,y) L = tan? x =x0 固定 x = x0 Tx ? Ty 偏导数的几何意义 x z y 0 得曲线 即 在 M 处的切线 对 x 轴的斜率。 即 在 M 处的切线 对 y 轴的斜率。 例：曲线 在点 处的切线与 y 轴正向所成的夹角是多少？ 解： 偏导数与导数的区别 (1) 是函数沿平行 x 轴方向上的变化率。 是函数沿平行 y 轴方向上的变化率。 (2) 可理解为 dy 与 dx 之“微商”； 是一个整体，不可拆开，更不是微商。 是函数对自变量 x 的整体变化率。 （可参见前面的例题4 – 理想气体的状态方程） (3) 一元函数： 连续 可导 多元函数： 连续 可偏导 例： 但 不存在 例: 在点(0, 0)处的极限不存在，则也不连续。 函数 但在点(0, 0)处对 x 的偏导数